Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-10 | 195 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
■ Угол между прямой и плоскостью. Если прямая задана каноническими уравнениями (2), то угол ,образованный прямой с плоскостью , находится из соотношения , где – нормальный вектор плоскости, а – направляющий вектор прямой. (Заметим, что угол между прямой и плоскостью всегда можно считать острым). В развернутом виде последняя формула имеет вид
.
Пример 1. Найти угол между прямой и плоскостью .
Решение. Имеем , , поэтому
, отсюда находим
.
■ Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Очевидно, прямая перпендикулярна плоскости в том и только том случае, когда ее направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости . Поэтому условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид (см. п. 2.3):
.
Условие параллельности прямой и плоскости равносильно условию перпендикулярности векторов и , которое, согласно п. 2.3, имеет вид или .
Пример 2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М 0(1, -1, 4) и перпендикулярной плоскости .
Решение. В качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , поэтому канонические уравнения прямой имеют вид .
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0(-3, 0, 2) и перпендикулярной прямой .
Решение. В качестве нормального вектора плоскости возьмем направляющий вектор данной прямой. Остается записать уравнение (1) из п. 2.6: .
Ответ: .
Пример 4. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .
Решение. Рассмотрим параметрические уравнения прямой: , , ; подставив эти выражения в уравнение плоскости вместо х, у, z,получим , откуда . Искомые координаты точки пересечения: , , .
Ответ: точка пересечения .
|
Пример 5. Найти проекцию точки М (3, -1, -1) на плоскость .
Решение. Составим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной плоскости: , , (направляющим вектором этой прямой служит нормальный вектор {5, -2, 3} данной плоскости. Искомая проекция представляет собой точку пересечения плоскости с указанным перпендикуляром. Для ее нахождения подставим, как и в Примере 4, в уравнение плоскости найденные выражения х, у, z через параметр t: ; из этого уравнения находим . Поэтому искомые координаты проекции , , .
Ответ: проекция точки М на плоскость: Р (8, -3, 2).
Пример 6. Лежат ли прямые и в одной плоскости?
Решение. Введем вектор . Здесь – точка, через которую проходит первая прямая, а – точка, через которую проходит вторая прямая (это легко усмотреть из канонических уравнений прямых). Направляющие векторы прямых: , . Наши прямые лежат в одной плоскости только в том случае, когда лежат в одной плоскости (компланарны) векторы , и . Но мы знаем, что условие компланарности трех векторов состоит в равенстве нулю их смешанного произведения (см. п. 2.5): . В нашем случае смешанное произведение равно . Таким образом, данные прямые не лежат в одной плоскости.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!