Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-09 | 2815 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В предыдущих темах мы изучили многочлены с коэффициентами из произвольного абстрактного поля P. Большое значение имеет рассмотрение многочленов над числовыми полями. Остановимся на С. Среди всех числовых полей поле С состоит в том, что всякий многочлен f(x) степени большей или либо равной 2 является приводимым над полем С то есть разлагается на произведение линейных многочленов по этому его называют замкнутым. Задача разложения над С в произведение линейных членов решается на основании:
Т1(Основная теорема алгебры):
Всякий многочлен положительной степени с числовыми коэффициентами из поля С имеет корень в поле комплексных чисел С.
(Доказана Гауссом в 1799 г.)
Т2: Любой многочлен степени не меньше 2 является приводимым над полем С.
Доказательство:
По Т1 существует ,тогда по теореме Безу: Следовательно даны многочлен раскладывается.
■
Следствие: Чтобы многочлен из С был не приводим над С необходимо и достаточно, что бы степень его была равной 1.
Т3: Многочлен n степени из кольца C[z] раскладывается в произведение линейных множителей, то есть представляется в виде: , где корни.
Доказательство:
На основании теоремы о разложении многочленов в произведение не приводимых множителей запишем, что где не приадимы над C а, каждый не приводимый над С является многочленом 1 степени. Где
ng w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRPr="00770B1F"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">
|
Обозначим
таким образом мы доказали что наше разложение существует, причем .
■
Т4: Многочлен n степени в поле С имеет ровно n корней с учетом их кратности.
Пример 1:
Разложить в произведение линейных множителей:
Зависимость между корнями. Теорема Виета.
Т: Если числа являются корнями многочлена n степени
То справедливы следующие формулы называемые формулами Виета:
…
Доказательство:
По условию числа являются корнями многочлена n степени из кольца С[Z] этот многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей: . Раскроим скобки в правой части (рассмотрим эту процедуру для многочлена 3 степени)
На основании определения равенства 2 многочленов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Из последних равенств следует формулы Виета.
■
Замечание: Рассмотренные формулы Виета обобщают известные из школьного курса математики формулы Виета
Пример 1:
Составить нормированный многочлен наименьшей степени имеющий простой корень -1 и двукратный корень i.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!