Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-13 | 249 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти
и при обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке и, следовательно, представляет собой неопределенность типа или соответственно. Поскольку это отношение в точке может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило ЛопиталяБернули),
и имеет место следующее равенство:
, если и .
1. (здесь имеет место неопределенность типа )=
= .
Аналогичное правило имеет место, если и , т.е. .
2. (неопределенность типа )
=
= .
Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа и . Для вычисления , где - бесконечно малая, а - бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду
(неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.
3.
Для вычисления , где и - бесконечно большие при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду , затем раскрыть неопределенность типа . Если , то .
Если же , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается аналогично примеру 12).
4. .
Так как , то получим в итоге неопределенность типа и далее имеем
.
Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа . В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения , где в случае есть бесконечно малая, в случае - бесконечно большая, а в случае - функция, предел которой равен единице.
Функция в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.
|
Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если , то , затем находят предел , и после чего находят предел . Во всех перечисленных случаях является неопределенностью типа , которую раскрывают аналогично примеру 12).
5.
(воспользуемся правилом Лопиталя)=
= .
В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:
и тогда .
6.
= ;
.
7. ;
= ;
.
8. ;
= ;
.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Первообразная
Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в отыскании производной или дифференциала заданной функции . Рассмотрим обратную задачу. По заданной функции ¦ ( x ) восстановить такую функцию F ( x ), для которой ¦ ( x ) была бы производной, т.е. . Такую функцию F(x) принято называть первообразной для ¦(x).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (или примитивной) для функции ¦(x) на некотором множестве X, если для любого xÎX выполняется равенство .
Пример 1. Функция является первообразной для функции на всей оси OX, т.к. для любого xÎR мы будем иметь .
Из этого примера важно заметить, что первообразной для функции является не только , но и функция , где C – любая постоянная, т.к. . Указанное обстоятельство справедливо для любой функции ¦(x), имеющей первообразную.
А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть F(x) – какая-нибудь первообразная для функции ¦(x) на некотором множестве X, тогда функция F(x)+C, где C – любая постоянная, также будет первообразной для ¦(x).
Обратно, всякая первообразная для ¦(x) на множестве X может быть представлена в виде F(x)+C.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции ¦(x) называется неопределенным интегралом от функции ¦(x) и обозначается символом .
Итак, по определению (1).
В силу установившейся традиции равенство (1) без явного обозначения множества справа, т.е. вида , при этом C называется произвольной постоянной.
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!