История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 211 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Линейным уравнением называется уравнение вида
где и b – числа, - неизвестные.
Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.
Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.
Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида
(1)
где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.
Решением линейной системы называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.
Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Метод Гаусса
Пусть в системе (1) (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:
.
Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:
. (2)
Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
|
Из последнего уравнения системы (2) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.
Пример 13.
Решить систему методом Гаусса:
.
Решение.
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и
2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице:
.
Теперь исключим х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:
.
Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:
.
Из последнего уравнения получаем, что у = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z = 3, х = 1.
Итак, х = 1, у = 0, z = 3.
Правило Крамера
Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных: (3)
Назовем главным определителем такой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:
, (4)
а определителем - определитель, полученный из (4) заменой столбца коэффициентов при xj на столбец свободных членов. Тогда:
1) Если система (3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
2) Если = =0, система имеет бесконечно много решений.
3) Если = 0, а хотя бы один из система не имеет решений.
Пример 14.
Решить систему по правилу Крамера:
.
Решение.
Главный определитель
следовательно, система имеет единственное решение.
Найдем Δ х, Δ у и Δ z:
Отсюда
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!