Асимптотическая формула Пуассона.

В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний.

При этих условиях для вычисления вероятности появление события k раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона:

, где .

Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется 3 изделия бракованных?

Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, k =3, следовательно, . Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона .

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие A произойдет k раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

, где - функция Гаусса, .

 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от до , при достаточно большом числе приближенно равна:

, где - функция Лапласа

, .

Следствия:

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

1) Число k наступлений события А отличается от произведения np не более, чем на величину равна:

2) Относительная частота события A заключена в пределах от до равна:

,

,

3) Относительная частота события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ>0 равна:

.

Контрольные вопросы:

1.Схема независимых повторных испытаний Бернулли.

2. Формула Бернулли.

3. Закон редких событий (формула Пуассона).

4. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Контрольные задания:

1. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных? Не более трех цветных?

2. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика,

б) не более двух мальчиков,

в) более двух мальчиков,

г) не менее двух и не более трёх мальчиков.

3. Проблема Джона Смита. В 1693г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму – не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача была решена Ньютоном и Толлетом, показавшими, что первый человек имеет больше шансов на выигрыш, чем второй, а второй больше, чем третий. Получить этот результат.

4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

5. Вероятность появления события в каждом из 100 испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75 и не более 90 раз,

б) не менее 75 раз,

в) не более 74 раз.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02?

7. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,02. Сверла укладывают в коробку по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке окажется не более трех бракованных сверл.

8. Производится 1000 однородных опытов. Предполагается, что в каждом независимом испытании вероятность отрицательного результата – 0,003. Найти вероятность того, что отрицательных результатов будет:

а) ровно два,

б) менее двух,

в) более двух,

г) хотя бы один.

Задания для домашней работы:

1. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырёх или пять из восьми?

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?

2. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

3. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

4. Среди деталей, изготавливаемых участком, 0,1% бракованных. Детали укладываются в ящики по 200 штук. Чему равна вероятность того, что в ящике будет не более трех бракованных деталей?