Тема №1 «Элементы теории множеств»

Цель: усвоить понятия множества, его элементов, конечного и бесконечного, равных множеств, научиться проводить основные операции над множествами.

 

Краткие теоретические сведения:

Множество – одно из основных неопределяемых понятий математики. Множество – совокупность объектов, обладающих одним и тем же признаком, объекты, не входящие в эту совокупность таким признаком не обладают. Объекты множества называются его элементами.

Множества обозначаются большими латинскими буквами, его элементы - маленькими.

Универсальное множество (универсум) – множество, которому принадлежат все те элементы, которые допустимо рассматривать при решении данной задачи.

Пустое множество Ø–множество, которое не содержит ни одного элемента.

Способы задания множеств:

1) перечислением элементов – ,

2) указанием характеристического свойства – .

Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным, иначе множество называется бесконечным.

Если каждый элемент множества является элементом множества , то множество называется подмножеством множества : .

Свойства подмножеств:

1) ,

2) Ø .

Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: .

Всякое подмножество данного множества , которое не совпадает с и Ø, называется собственным подмножеством .

Объединением множеств и называется множество , состоящее из элементов множеств и .

Пересечением множеств и называется множество , состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множеству и множеству .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из элементов , которых нет в .

Геометрически операции над множествами изображаются с помощью диаграмм Эйлера – Венна:

U ∩ \

Свойства операций над множествами:

1) ,

2) Ø,

3) ,

4) , - коммутативность,

5) , - ассоциативность,

6) , - дистрибутивность,

7) , - законы де Моргана,

8) , ,

9) , Ø ,

10) Ø = Ø, ,

11) , - законы поглощения.

Пример. Доказать свойство .

Решение. Пусть , тогда и , то есть либо , либо . В первом случае , но тогда ; во втором случае , но тогда . Следовательно, .

Пусть , тогда либо , либо . В первом случае и , тогда и ; во втором случае и , но тогда и . Следовательно, .

Так как и , то .

Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком следования элементов, называется упорядоченным множеством.

Основные числовые множества:

1) – натуральные,

2) – целые,

3) - рациональные,

4) – иррациональные,

5) – действительные,

6) – комплексные числа.

Между множествами и установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу множества соответствует элемент множества . Соответствие называется взаимно-однозначным, если любому элементу из соответствует только один элемент из и наоборот. Два множества называются эквивалентными,если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие: ~ .

Если множества эквивалентны, то они имеют одинаковую мощность или кардинальное число .

Мощность конечного множества равна числу элементов этого множества. Мощность пустого множества равна нулю.

Бесконечное множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Бесконечное множество, мощность которого превышает мощность счётного множества, называется несчётным.

Множество действительных чисел несчётно и его мощность называется мощностью континуума.

Пусть имеются два множества и . Прямое (декартово) произведение есть множество всех упорядоченных пар , в которых первый элемент принадлежит множеству , а второй – множеству .

Пример. Пусть , . Тогда

.

Нечётким множеством в универсальном множестве называется совокупность упорядоченных пар – степень принадлежности множеству .

Пример. Математико-психологический портрет группы студентов 1-го курса факультета клинической психологии по степени принадлежности каждого из них к множеству трудолюбивых людей.

Студенты	Антонова	Веркутов	Любимова	Миронова	Новиков	Калинина	Осина
	0,8	0,7	0,4	0,9	0,3	0,5	0,4

Объединением нечётких множеств и называется нечёткое множество с функцией принадлежности .

Пересечением нечётких множеств и называется нечёткое множество с функцией принадлежности .

Лингвистическая переменная – переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языков.

Контрольные вопросы:

1. Понятие множества и его элементов. Способы задания множеств.

2. Конечное и бесконечное множества.

3. Подмножество. Свойства подмножеств.

4. Операции над множествами.

5. Основные числовые множества.

6. Мощность множества. Счётное и несчётное множества.

7. Декартово произведение множеств.

8. Нечёткие множества. Пример.

9. Операции над нечёткими множествами.

10. Понятие лингвистической переменной.

Контрольные задания:

1. Определить является ли одно из множеств и собственным подмножеством другого:

а) {1,{1,2}}, {{1,2},2},

б) {1}, {1,{1}}.

2. Какие из элементов множества одновременно являются и его подмножествами: {Ø,{Ø},{1}}?

3. Для двухэлементного множества построить - множество всех подмножеств : ={1,2}.

4. Найти объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств и :

а) и – множества всех букв слов «параллельность» и «трапеция»,

б) и – множества всех цифр чисел 3464675678 и 3464758858.

5. Найти объединение, пересечение и разность следующих промежутков:

а) [3;7), (4;9],

б) (- ;5], (0;+ ),

в) [1;10], (-7;4].

6. Доказать и с помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить:

а) \ = \( ),

б) \ = ( )\ ,

в) ( )\ = ( \ ) ( \ ),

г) ( \ ) ( \ ) = ( )\ .

7. Решить задачу:

Из 32 учеников класса 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 – и в той, и в другой. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секциях.

Задания для домашней работы:

1. Найти объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств и :

а) и – множества всех букв слов «алгебра» и «планета»,

б) и – множества всех цифр чисел 5660399839 и 5382388992.

2. Доказать и с помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить:

а) ( \ )\ = \( ),

б) \( \ ) = ( \ ) ( ),

в) ( \ ) ( \ ) = ( )\( ).

3. Найти объединение, пересечение и разность следующих промежутков:

а) (-1;3), [2;+ ),

б) [1;4), [2;3],

в) [1;3), [5; + ).