Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-11-27 | 563 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрение двух поверхностей, полученных изгибанием, показывает, что многие их свойства одни и те же, хотя формы у поверхностей разные. Поэтому целесообразно изучать такие понятия и факты теории поверхностей, которые не меняются при изгибании.
Определение. Внутренней геометрией поверхности называется совокупность таких её свойств, которые определяются только коэффициентами первой квадратичной формы, то есть не меняются при изгибании.
К внутренней геометрии относятся:
– длины кривых на поверхности;
– углы между кривыми;
– площади областей поверхности;
– гауссова кривизна: K =
LN – M 2 = +
Гауссову кривизну можно найти, используя только коэффициенты первой квадратичной формы, таким образом, две поверхности с одинаковой гауссовой кривизной изометричны.
– тип точек на поверхности и др.
Геодезическая кривизна кривой на поверхности
Пусть Ф – регулярная поверхность, g Ì Ф – регулярная кривая, – её естественная параметризация, М Î g – некоторая точка.
– единичный вектор нормали к поверхности.
Определение. Число kg = (, , ) называется геодезической кривизной кривой g в точке М.
Геометрический смысл геодезической кривизны: k – вектор кривизны кривой g в точке М, геодезическая кривизна кривой – это длина проекции вектора кривизны k на касательную плоскость (с точностью до знака).
Геодезическая кривизна в произвольной параметризации
– параметризация кривой g;
= = ; = + => kg =
Пример. Найти геодезическую кривизну винтовой линии u = u 0, лежащей на прямом геликоиде x = u cos v, y = sin v, z = bv.
(cos v; sin v; 0), (– u 0 sin v; u 0 cos v; b)
(; – ; )
Пусть t = v => = , = (– u 0 cos v; – u 0 sin v; 0), | | =
kg = = –
Геодезические линии
|
Определение. Линия на поверхности называется геодезической, если в каждой её точке геодезическая кривизна равна нулю.
(, , ) = 0 (в любой параметризации)
Свойства геодезической линии
1. Кривая g является геодезической тогда и только тогда, когда в каждой её точке, где кривизна k ¹ 0, имеет место соотношение || (вектор кривизны коллинеарен нормали).
2. Пусть g – линия касания двух поверхностей Ф1 и Ф2. g – геодезическая линия для Ф1 тогда и только тогда, когда g – геодезическая линия для Ф2.
3. Через каждую точку регулярной поверхности в любом направлении можно провести, причем единственную геодезическую линию.
4. Геодезическими линиями на сфере являются большие окружности и только они.
Пример. Найти геодезические линии на прямом круговом цилиндре:
х = R cos u, y = R sin u, z = v (0 £ u < 2p, –¥ < v < ¥)
(– R sin u, R cos u, 0), (0; 0; 1); (cos u; sin u; 0)
Пусть – параметризация линии, лежащей на цилиндре, то есть u = u (t),
v = v (t).
(– R sin u · ut'; R cos u · ut'; vt');
(– R cos u (ut')2 – R sin u · ; – R sin u · (ut')2 + R cos u · ; )
(, , ) = 0 => ut' – vt' = 0
Решением этого дифференциального уравнения являются: u = at + b, v = ct + d.
Тогда на цилиндре геодезическими линиями будут:
x = R cos(at + b), y = R sin(at + b), z = ct + d – винтовые линии
Теорема (основное свойство геодезической линии). Если точки P и Q геодезической линии на поверхности Ф достаточно близки, дуга М 1 М 2 этой линии является кратчайшей среди дуг всевозможных кривых на Ф с концами P и Q.
Замечание. Требование близости точек P и Q на геодезической линии существенно. Достаточно рассмотреть две дуги большой окружности на сфере с общими концами P и Q, не являющимися диаметрально противоположными точками. Одна из этих дуг является кратчайшей, а другая – нет.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!