Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-11-27 | 816 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Гауссовой (полной) кривизной поверхности называется число, равное произведению главных кривизн K = k 1· k 2
Определение. Средней кривизной поверхности называется число, равное среднему арифметическому главных кривизн: H = .
Пример. В условиях предыдущей задачи найти гауссову и среднюю кривизны.
k 1 = – , k 2 = + => K = – ; H =
Из уравнения главных кривизн и теоремы Виета получаем:
K = и H =
Пример. Условия те же
E = 5, F = 6; G = 10; L = ; M = 0; N =
EG – F 2 = 14; EN + GL – 2 MF = + = , LN – M 2 =
K = ; H = –
Определение. Поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю, называются минимальными
Из всех гладких поверхностей, ограниченных данным замкнутым контуром, минимальная поверхность имеет наименьшую площадь.
Пример. Найти гауссову и среднюю кривизны прямого геликоида (u cos v, u sin v, bv) (b > 0)
(cos v; sin v; 0) (0; 0; 0) (– sin v; cos v; 0)
(– u sin v; u cos v; b) (– u cos v; –u sin v; 0)
E = 1, F = 0; G = u 2 + v 2; L = 0; M = – ; N = 0
EG – F 2 = u 2 + b 2; LN – M 2 = –
EN + GL – 2 MF = 0
K = – H = 0
Таким образом, прямой геликоид является минимальной поверхностью и поверхностью отрицательной кривизны.
В формуле для вычисления гауссовой кривизны знаменатель: EG – F 2 = | | > 0, следовательно, знак гауссовой кривизны совпадает со знаком числа LN – M 2 => гауссова кривизна позволяет определить тип точек на поверхности.
Примеры поверхностей постоянной гауссовой кривизны
– плоскость, цилиндрические, конические (все развертывающиеся) поверхности имеют постоянную нулевую гауссову кривизну;
– сфера K = > 0 – поверхность постоянной положительной кривизны;
– псевдосфера (поверхность, образованная вращением трактрисы вокруг её асимптоты) – поверхность отрицательной кривизны
Трактриса Псевдосфера
|
x = a sin t x = a sin u cos v
y = 0 y = a sin u sin v
z = a (ln tg + cos t) z = a (ln tg + cos u)
K = –
Внутренняя геометрия поверхностей
Изометричные поверхности
Определение. Две поверхности S и S' называются изометричными, если между точками этих поверхностей можно установить такое биективное соответствие, при котором длины соответствующих кривых на поверхностях S и S' равны.
Обозначение: S S'
Если две поверхности изометричны, то говорят, что каждая из них получена изгибанием другой. Таким образом, изгибание поверхности – это такая деформация, при которой не изменяются длины кривых на поверхности.
Примеры.
1. Изгибание плоскости в двугранный угол или параболический цилиндр
2. Изгибание многогранного выпуклого угла (например, трехгранного) в коническую поверхность, которая имеет такую же развертку и плоский угол, что и данный многогранный угол
3. Если от сферы отсечь плоскостью сферический сегмент и отразить его зеркально относительно плоскости края, получим поверхность, изометричную сфере.
Теорема (признак изометричности поверхностей). Две регулярные поверхности S 1 и S 2, заданные на одной и той же области Q вектор-функциями (u, v) и (u, v) соответственно, изометричны тогда и только тогда, когда одинаковы коэффициенты первых квадратичных форм этих поверхностей
Доказательство
<=) Очевидно, так как длина дуги кривой зависит только от I.
=>) Пусть S 1 S 2 => существует изометрия f: S 1 ® S 2 и длины соответствующих дуг равны => I1 = I2 <=> dS 12 = dS 22
Пусть g1 – u 1-линия, g2 – u 2-линия, g1 ®g2 =>
E 1 du 2 + 2 F 1 du dv + G 1 dv 2 = E 2 du 2 + 2 F 2 du dv + G 2 dv 2
<=> E 1 = E 2, F 1 = F 2, G 1 = G 2
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!