Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-11-27 | 655 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
М – точка С 2-гладкой поверхности Ф, заданной вектор-функцией . Пусть kn ¹ 0 (хотя бы один коэффициент L, M, N ненулевой)
ПН – касательная плоскость к Ф в точке М.
Рассмотрим прямые плоскости ПН, проходящие через точку М.
На каждой такой прямой от точки М по обе стороны отложим отрезки MP = , где kn – нормальная кривизна линий на поверхности, для которых данная прямая является касательной.
Множество полученных таким образом точек Р образует линию, называемую индикатрисой кривизны (индикатрисой Дюпена)
Франсуа Пьер Шарль Дюпен (1784-1873)
французский геометр и экономист. По образованию – инженер-кораблестроитель.
В 16 лет вывел уравнение циклоиды (циклоида Дюпена).
В области дифференциальной геометрии: доказал теорему, носящую его имя, о пересечении поверхностей ортогональной системы вдоль общих линий кривизны; ввел кривую, позволяющую наглядно представить распределение кривизны поверхности в различных нормальных ее сечениях (индикатрису Дюпена).
Усовершенствовал геометрию световых лучей французского физика и математика Этьена Малюса, что способствовало модернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометрию прямолинейных конгруэнций.
g: L x 2 + 2 M xy + N y 2 = ±1 – уравнение индикатрисы Дюпена в аффинной системе координат R = { M, , } (Р (x, y) – точки индикатрисы)
В зависимости от вида индикатрисы Дюпена (кривая второго порядка) проводят классификацию точек поверхности. Она может представлять собой:
1) эллипс, если LN – M 2 > 0 => точка М – эллиптическая. Если индикатриса Дюпена – окружность, то т. М называется омбилической.
2) пару сопряженных гипербол, если LN – M 2 < 0, точка М – гиперболическая.
3) пару параллельных прямых, если LN – M 2 = 0, точка М – параболическая.
|
Пример. Определить тип точек на поверхности z = x + y 2
x = u (1; 0; 1) (0; 0; 0) (0; 0; 0)
y = v (0; 1; 2 v) (0; 0; 2)
z = u + v 2
= = (–1; –2 v; 1) => | | =
(– ; – ; )
L = 0, M = 0, N = · = => LN – M 2 = 0 => все точки данной поверхности являются параболическими.
Главные кривизны поверхности
Определение. Главными кривизнами поверхности называются экстремальные значения нормальных кривизн в заданной точке (если они имеются)
Определение. Касательные к кривым на поверхности, нормальные кривизны которых – главные, называются главными направлениями поверхности.
Главные направления поверхности являются главными направлениями индикатрисы Дюпена.
Определение. Кривая на поверхности, в каждой точке которой касательная направлена по главному направлению, называется линией кривизны поверхности.
Примеры. Параллели и меридианы поверхности вращения являются линиями кривизны.
Главные кривизны k 1 и k 2 в точке M поверхности являются корнями уравнения:
= 0
или: (EG – F 2) k 2 – (EN + GL – 2 MF) k + (LN – M 2) = 0
Пример. Найти главные кривизны поверхности z = x 2 + y 3 в точке М (1; 1; 2)
x = u u = 1, v = 1
y = v (1; 0; 2 u) = (1; 0; 2) (0; 0; 2) (0; 0; 0)
z = u 3 + v 3 (0; 1; 3 v 2) = (0; 1; 3) (0; 0; 6 v) = (0; 0; 6)
= = (–2; –3; 1) => | | =
(– ; – ; )
E = 1 + 4 = 5, F = 6; G = 10; L = ; M = 0; N =
EG – F 2 = 14; EN + GL – 2 MF = + = , LN – M 2 =
14 k 2 – k + = 0 => k 1,2 = ±
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!