Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-21 | 465 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
.1. Основные понятия и определения.
Мы достаточно подробно обсуждали экстремумы функции одной переменной. Перенесем эти знания на функции двух переменных.
Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если
для всех точек (х, у), достаточно близких к точке и отличных от нее (рис..1).
Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если
для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от нее. (рис. 17.2).
Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими.
Иногда точку экстремума и ее характер можно определить из соображений здравого смысла.
Например, функция имеет минимум при и , т.е. в точке М (1,2). Действительно, для любых первое слагаемое будет расти, и для – тоже, поэтому в точке М (1,2) функция имеет минимум, причем
рис. 17.1 Рис. 17.2
Функция имеет максимум в точке (0,0), причем (рис. 17.2).
Кроме того, существуют такие точки, где функция по одной переменной имеет минимум, а по другой переменной – максимум. Их называют точками минимакса (рис. 17.3), или седловыми, точками. Они особенно интересны экономистам, если в качестве определяющих переменных служат затраты Х (ден.ед) и прибыль Y (ден.ед.). Ясно, что нужно искать такие точки, в которых затраты были бы минимальными, а прибыль – максимальной.
Рис. 17.3
Но чаще всего определить экстремальные точки бывает затруднительно, поэтому, как и для функции одной переменной введем необходимый и достаточный признаки, позволяющие определять координаты и характер экстремума, не производя лишних вычислений.
Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке
М0(х0, у0), то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю. (необходимые условия экстремума).
|
Такие точки называются критическим.
Для достаточного признака существования экстремума введем дополнительные обозначения:
, , ,
. (17.1)
Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и точка является критической. Тогда в этой точке:
1. имеет максимум;
2. если и имеет минимум;
3. если не имеет экстремума в указанном смысле. Возможен минимакс.
4. если нужны дополнительные исследования.
Оба признака регламентируют порядок действия для отыскания экстремальных точек.
1. Находим частные производные первого порядка и из системы уравнений:
и определяем координаты критических точек.
2. Находим частные производные второго порядка и их значения в критических точках.
3. Составляем определитель по формуле 17.1 и делаем вывод о характере экстремума.
4. Находим значение функции в экстремальной точке.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Согласно плану
1.
2. Решая последнюю систему уравнений, находим координаты критической точки: , причем обе частные производные при переходе через критическую точку меняют свой знак с (-) на (+), т. е. имеют минимум.
3.
Здесь и А= 2>0, следовательно, точка М0(0,0) является точкой минимума.
4. .
Графиком этой функции является круговой параболоид с точкой минимума (0,0,6). (См. приложение 1)
Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию .
Решение.
1.Найдем критические точки:
Откуда получим две критические точки и .
2. Производные второго порядка: , , .
3. В точке М1(0,0) , , , .
Следовательно, в этой точке экстремума нет.
В точке , , , .
Следовательно, в этой точке функция имеет минимум, так как . z
4.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .
Это функция называется гиперболическим параболоидом. (См. приложении 1).
Решение. В соответствии с планом:
1.
2.Эта система имеет единственное решение. Точка является критической точкой, причем при переходе через нее по оси ОХ частная производная меняет знак с (-) на (+), а по оси ОУ с (+) на (-).
|
3. Т.е. экстремума в указанном смысле нет, но есть минимакс, причем по переменной х функция имеет минимум, а по переменной у – максимум.
4. . Т.М0(0,0,0) – точка минимакса.
Вопросы для самоконтроля
1. Максимумфункциидвух переменных – это точка М(х0,у0), где выполняется условие..
1)
2.Если в точке М0 (х0, у0) имеет минимум, то там выполняются условия:
1)
3. Критические точки функции 2 переменных– это точки, где…
и
4.Точки минимакса функции 2 переменных – это точки, где…
1)по обеим переменным есть максимум, 2) по обеим переменным есть минимум
3) по одной из переменных есть минимум, а по второй – максимум.
5. если для функции 2 переменных в некоторой точке выполняется условие , то в этой точке будет:
1) максимум 2) минимум 3) минимакс 4) надо проводить дополнительные исследования.
Ответы. 1. 2 вариант ответа. 2. 2 вариант 3. 4 вариант 4. 3 вариант 5. 2 вариант.
12.3 Наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области
Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной области D, следует найти значения функции в экстремальных точках и на границах области. Наибольшее и наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции в области D. При отыскании этих значений на границе области следует в уравнение подставить уравнение границы, разрешенное относительно одной переменной и рассматривать вопрос как для функции одной переменной. Покажем это на примере.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области D, заданной системой неравенств , . Сделать чертеж.
Решение. Сделаем чертеж области D. Она ограничена сторонами треугольника АОВ, причем уравнение АВ: , уравнение ОВ: , уравнение АВ: (рис.).
рис.
Дальнейшее решение проведем по плану:
1. Найдем критические точки, в которых частные производные равны нулю:
Приравняем их нулю:
Решив эту систему, получим , . Точка М (8/3, 4/3) принадлежит области D.
2. Определим, будет ли в этой точке экстремум, для чего воспользуемся достаточным условием существования экстремума предыдущего пункта:
,
.
Так как , следовательно, в точке М – min.
.
3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции z на границах области:
а) на границе ОА: , тогда функция , где .
|
Эта функция монотонно возрастает на данном отрезке, и ее наименьшее и наибольшее значения находятся на концах отрезка в точках А и О. , .
б) на границе ОВ: , поэтому , где . Найдем экстремум и значения функции на концах отрезка в т. О(0,0) и точка В (6,0).
– это точка минимума точке С, т.к. парабола с поднятыми вверх ветками имеет только минимум.
, , .
в) на границе АВ: . Запишем функцию z с учетом уравнения границы:
и .
Найдем только экстремум, так как значения функции в точках А и В были найдены выше.
.
Это тоже точка минимума, назовем ее точкой D. Найдем значение функции в этой точке:
.
г) Запишем и сравним значения функции, во всех экстремальных и граничных точках области:
, , , , , .
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в граничной точке области А и наименьшее – во внутренней точке минимума М.
Таким образом, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области свелось к функции одной переменной, с чем мы уже встречались в теме «Экстремумы функции одной переменной».
Если требуется определить наименьшее и наибольшее значение функции многих переменных, которые связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, то эта задача так и называется задачей на условные экстремумы. Она выходит за рамки рассматриваемого курса. Ее можно найти в рекомендуемой литературе.
Задания для аудиторных занятий
1. Найти экстремумы функций:
1 Z= у2 -10 у - 4 х +13
2.Z= 3 х2 + 5 у2 -18 х +10 у + 28; Z= 4 х2 + 5 у2 - 8 х +20 у +4;
3.Z= х2 - 4 х - 6 у - 10
4.Z = 4 х2 + 5 у2 + 24 х + 30 у +61
5. Z= 36 х2 + 49 у2 + 72 х - 196 у -1442
4. Контрольные задания №
Вычислить экстремумы следующих функций.
1. Z= 9 х2 - 16 у2 + 18 х - 64 у - 71 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9
10 11. 12
13 14 15.
16. 17. 18.
19 20
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!