Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-11-21 | 603 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
И их свойства
Множество всех векторов, на котором введена операция сложения векторов, удовлетворяющая свойствам
10. ;
20. ;
30. ;
40. ,
и операция умножения вектора на число, удовлетворяющая свойствам
10. , ;
20. ;
30. ;
40. ,
называется векторным пространством и обозначается через V.
Базисом векторного пространства называется система векторов, заданных в определенном порядке, которая удовлетворяет условиям:
1) система линейно независима;
2) любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов.
Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства.
Выяснить, чему равна размерность векторного пространства V, позволяют следующие две теоремы, которые приведем без доказательства:
Теорема 1. Любая система трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, образует базис векторного пространства.
А может ли базис пространства V состоять меньше, чем из трех векторов? Больше, чем из трех векторов? Оказывается, нет, так как справедлива
Теорема 2. Любой базис векторного пространства V состоит из трех векторов.
Эти теоремы можно доказать, пользуясь теоремами о коллинеарных и компланарных векторах и свойствами 20 - 70линейно зависимой системы векторов.
Из теорем 1 и 2 следует, что размерность векторного пространства V равна 3, поэтому оно называется трехмерным векторным пространством.
Базис, состоящий из векторов , и , обозначается так: , , или , , . Векторы , , называются базисными векторами: - первый базисный вектор, - второй, - третий.
Пусть - произвольный вектор пространства V, , , - базис векторного пространства V.
Из теоремы 1 следует, что вектор можно разложить по базисным векторам , , , т.е. существуют такие действительные числа , , , что
|
.
Коэффициенты , , в этом разложении называются координатами вектора в базисе , , : - первая координата, - вторая, - третья.
Обозначают это так: (; ; ) , , .
Когда ясно, о каком базисе идет речь, пишут так: (; ; ).
Свойства координат векторов
10. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).
□ Разложим по векторам базиса , , :
.
Следовательно, (0;0;0) , , . ■
20. Если , , - базис пространства V, то (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).
□ (1;0;0);
(0;1;0);
(0;0;1). ■
30. Если (; ; ), в базисе , , , а , то
в базисе , , (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).
□ По определению координат вектора
, .
Тогда , .
Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:
.
По определению координат вектора
. ■
Из свойства 30 получаем следствия:
Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 30 взять сначала a=b=1, а затем a=1, b=-1. Для доказательства следствия 2 полагаем b=0. ■
40. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , .
50. Пусть (; ; ), , и , i=1, 2, 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:
|| .
Пусть . Тогда
|| и .
Если же , то
|| , а и - любые.
Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).
Е1 |
Е3 |
О |
1) ;
Рис. 8 |
Е2 |
|
Рис. 9 |
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!