Числовыеибуквенныевыражения, какпредмет изучениявначальнойшколе

В пп. 8.2.1 было показано, что алгебраические понятия являются средствами обобщения, языком описания арифметических действий. Понятие математического выражения иной природы, чем понятия сложения, вычитания, умножения и деления. Отношения между эти­ми понятиями можно считать отношениями формы и содержания: математические выражения являются одной из форм знакового, пись­менного обозначения арифметических действий. Числовое выраже­ние можно считать также одной из форм числа, так как каждое чис­ловое выражение имеет единственное числовое значение — число.

Выражения появляются в обучении математике, как только в пер­вом классе появляются записи вида 2 + 3, 4 - 3 при изучении дей-

ствий сложения и вычитания. Вначале их так и называют: запись сложения, запись вычитания. Как известно, эти записи имеют и име­на собственные: «сумма», «разность», которые могут быть введены на одном уроке вместе с соответствующими действиями или через некоторое время. А понятие выражения предметом изучения следует делать только после того, как у учащихся уже будет некоторый прак­тический опыт действий с такими записями. При этом учитель может использовать термин «выражение» в своей речи, не требуя от де­тей его употребления, но вводя его в пассивную лексику учащихся. Именно так происходит, когда повседневной жизни, когда дети слы­шат новое слово, отнесенное к визуально выделенному объекту. На­пример, указывая на записи сложения и вычитания через несколько уроков после введения этих действий, учитель говорит: «Прочитайте эти записи, эти выражения: …», «Найдите в учебнике под № … вы­ражение, в котором из семи нужно вычесть три. …», «Рассмотрите эти выражения (показывает на доске). Прочитайте то, которое по­зволяет найти число, на 3 большее чем 5, в котором есть число, на 3 большее чем 5; на 3 меньшее чем 5».

При изучении числовых выражений в начальной школе рассма­тривают следующие понятия и способы действий.

Понятия: математическое выражение, числовое выражение (выражение), виды числовых выражений (в одно действие и в не­сколько действий; со скобками и без скобок; содержащие действия одной ступени и действия двух ступеней); числовое значение выра­жения; правила порядка действий; сравнение отношений.

Способы действий: чтение выражений в одно — два дей­ствия; запись выражений под диктовку в одно — два действия; определение порядка действий; вычисление значения выражений по правилам порядка действий; сравнение двух числовых выра­жений; преобразование выражений — замена одного выражения равным ему другим на основе свойств действий.

Введение понятий. Урок введения понятия выражения полезно начать с обсуждения записей. Какие бывают записи? Зачем люди пи­шут? Зачем вы учитесь писать? Какие записи мы делаем при изуче­нии математики? (Дети обращаются к своим тетрадям, к учебнику, к заранее подготовленным карточкам с примерами записей из тех, которые за период обучения делали учащиеся.) На какие группы можно разделить записи при изучении математики?

В результате такого обсуждения акцентируем внимание на двух основных группах записей: запись чисел и запись арифметических действий. Записи арифметических действий, в свою очередь, делим на две группы: без вычислений и с вычислениями, т. е. вида 2 + 3 и 2 + 3 = 5. На основании этой классификации сообщаем учащимся, что за­пись сложения и вычитания вида 2 + 3и7-5,а также любую запись составленную из таких записей, например, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 и подоб­ные им, принято называть (договорились называть) математическим

выражением, или просто выражением. Далее, как и при введении других понятий, необходимо выполнение заданий на распознавание, обучение универсальному учебному действию — распознаванию объ­ектов, относящихся к изучаемому понятию. В число распознаваемых объектов должны быть включены такие, которые обладают не всеми общими (существенными) свойствами понятия и потому не представ­ляют данное понятие и подпадающие под понятие, но обладающие разными вариативными (несущественными) свойствами. Например: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2,18-6=18-3-3 = 15-3 = 12.

Так как записи, называемые выражениями, уже использовались, читались и записывались учащимися, нужно обобщить способы чтения рассматриваемых выражений. Например, выражение 17 - 10 может быть прочитано как «разность чисел 17 и 10», как задание — «из 17 вычесть 10», «уменьшить число 17 на 10» или «найти число, меньшее семнадцати на десять» и по подобным названиям научаем учащихся записывать выражения. В дальнейшем вопросы: как про­читать записанное выражение и как записать названное выражение обсуждаются с появлением новых видов выражений.

На том же уроке, где вводим понятие выражения, вводим и по­нятие значение выражения — число, получающееся в результате выполнения всех его арифметических действий.

Для подведения итога введения понятий и планирования даль­нейшей работы, полезно обсудить на этом или на следующих уроках вопросы: • Сколько существует выражений? • Чем одно выражение может быть похожим на другое? Чем может отличаться от другого? • Чем все выражения похожи друг на друга? • О чем могут сообщить нам выражения? • Что можно делать с выражениями? • Чему нужно (можно научиться), изучая выражения?

Отвечая на последний вопрос вместе с учащимися формулируем учебные цели предстоящей деятельности: можно научиться и бу­дем учиться читать и записывать выражения, находить значения выражений, сравнивать выражения.

Чтение и запись выражений. Так как выражения суть записи, то нужно уметь их читать. Основные способы чтения задаются при введении действий. Читать выражение можно как наименование, как перечень знаков, как задание или вопрос. После изучения отношений «меньше (больше) на», «меньше (больше) в» между числами выраже­ния читаются еще и как утверждения или вопросы об отношениях равенства и неравенства. Каждый способ чтения раскрывает опре­деленную грань смысла соответствующего действия или действий. Поэтому очень полезно поощрять разные способы чтения. Образец чтения задает учитель при введении действия или при рассмотрении соответствующего понятия, свойства или отношения.

Основу чтения любого выражения составляет чтение выражения в одно действие. Обучение чтению происходит как и обучение любо-

му чтению при выполнении заданий, требующих такого чтения. Это могут быть специальные задания: «Прочитай выражения». Чтение необходимо при проверке значений выражения (читают выражение в составе равенства), при сообщении о результатах сравнения. Важ­но и обратное действие: запись выражения по его названию или за­даваемому им заданию, отношению. Такого рода действия учащиеся выполняют при проведении математических диктантов, специально предназначенных для формирования умения записывать выражения или в составе заданий на вычисление, сравнение и др. Чтение мате­матических выражений, обучение чтению выражений скорее не цель, а средство обучения — средство развития речи, средство углубления понимания смысла действий.

Покажем на примерах способы чтения основных ви­дов простых выражений:

1) 2 + 3 • к двум прибавить три; • сложить числа два и три; • сум­
ма чисел два и три; • два плюс три; • найти сумму чисел два и три;

• найти сумму слагаемых два и три; • найти число, на три большее,
чем число два; • два увеличить на три; • первое слагаемое 2, второе
слагаемое 3, найти сумму;

2) 5 - 3 • из пяти вычесть (ни в коем случае не «отнять¹«!) три;

• разность чисел пять и три; • пять минус три; • найти разность
чисел пять и три; • уменьшаемое пять, вычитаемое три, найти раз­
ность; • найти число, на три меньшее, чем пять; • пять уменьшить
на три;

3) 2 ·3 • два взять слагаемым три раза; • по два взять три раза;

• два умножить на три; • произведение чисел два и три; • первый
множитель два, второй — три, найти произведение; •найти произ­
ведение чисел два и три; • дважды три, трижды два; • два увеличить
в три раза; • найти число в три раза большее чем два; • первый мно­
житель два, второй три, найти произведение;

4) 12:4 • двенадцать разделить на четыре; • частное чисел двенад­
цать и четыре частное двенадцати и четырех); • частное от деления
двенадцати на четыре; • делимое двенадцать, делитель четыре, найти
частное (для 13:4 — найти частное и остаток); • уменьшить 12 в че­
тыре раза; • найти число, в четыре раза меньшее, чем двенадцать.

Чтение выражений, содержащих более двух действий, вызывает у младших школьников определенные трудности. В планируемые предметные результаты поэтому умение читать такие выражения мо-

¹«ОТНЯТЬ, … 1. кого (что). Взять у кого-н. силой, лишить кого-чего-н. О. деньги. О. сына. О. надежду. О. свое время у кого-н. (перен.: заставить потра­тить время на кого-что-н.). О. жизнь у кого-н. (убить). 2. что. Поглотить, вызвать расход чего-н. Работа отняла много сил у кого-н. 3. что. Отвести в сторону, от­делить от чего-н. О. лестницу от стены. …». [Ожегов С. И. Толковый словарь / С. И. Ожегов, Н.Ю.Шведова. — М., 1949 —1994.] [http://alcala.ru/slovar-ozhegova/ slovar-ozhegova.shtml]

жет быть помещено в повышенный или высокий уровень владения математической речью. Называются выражения с двумя и более дей­ствиями по последнему действию, компонентами которого считают­ся выражения. Однако некоторые виды выражений входят в тексты правил. Знание словесных формулировок правил означает и знание способов (способа) чтения. Например, распределительное свойство умножения относительно сложения или правило умножения суммы на число в самом названии правила дает название выражения вида (А + □) · й. А в формулировке свойства называются два вида вы­ражений: «Произведение суммы на число равно сумме произведе­ний каждого слагаемого на это число». Способы чтения выражений в два и более действий могут быть заданы предписаниями алгорит­мического вида. В подразделе 4.2 приведен пример такого алгорит­ма. Овладение способами чтения таких выражений происходит при выполнении тех же видов заданий, что и при обучении чтению вы­ражений в одно действие.

Нахождение значения выражений. Правила порядка дей­ствий. С начала изучения арифметических действий и появления выражений негласно принимается правило: действия нужно выпол­нять слева направо в порядке их записи. Проблема порядка действий обнаруживается тогда, когда возникают трудности обозначения выра­жением некоторых предметных ситуаций. Например, требуется взять 7 синих кубиков, на 2 меньше белых и узнать, сколько всего кубиков взято. Выполняем практически все действия, обозначая число ку­биков цифрами, а действия — знаками арифметических действий. Отсчитаем 7 синих кубиков. Чтобы взять на 2 меньше белых, ото­двинем на время два синих кубика и путем составления пар возь­мем столько белых кубиков, сколько синих без двух. Белые и синие кубики объединим. Наши действия с кубиками в записи арифмети­ческими действиями: 7 + 7-2. Но в такой записи действия нужно выполнять в порядке записи, а это не те действия, по которым мы составляли запись! Имеет место противоречие. Нам нужно, чтобы вначале 2 вычиталось из 7 (узнаем требуемое число белых кубиков), а потом к 7 — числу синих кубиков прибавлялся результат вычита­ния 7 и 2. Как быть?

Выход из этой и подобных ситуаций может быть таким: нужно каким-либо образом в записи выражения выделить то действие или действия, которые нужно выполнять не в порядке записи слева — направо. И такой способ выделения есть. Это скобки, которые как раз и придуманы для ситуаций, когда действия в выражении нужно выполнять не в порядке следования слева направо. Со скобками ма­тематическая запись наших практических действий с кубиками будет выглядеть так: 7 + (7 - 2). Действия, записанные в скобках, принято выполнять в первую очередь. Чтобы освоить и присвоить это свой­ство скобок, составляем с учащимися разные выражения, ставим в них по-разному скобки, вычисляем, сравниваем результаты. Заме-

чаем: иногда изменение порядка действий не меняет значения выра­жения, а иногда — меняет. Например, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

При введении скобок общепринятые правила порядка действий явно еще не изучаются, хотя два правила уже практически приме­няются: а) если в выражении без скобок только сложение и вычита­ние, то действия выполняются в порядке их записи слева направо; б) действия в скобках выполняются первыми.

Вновь остро проблема порядка действий возникает после появ­ления выражений, содержащих действия умножения и (или) деле­ния и действия сложения и (или) вычитания. В этот период потреб­ность в правилах порядка действий может быть осознана учащимися и именно в этот период учащиеся уже могут обсуждать эту проблему, формулировать и понимать общепринятые формулировки правил порядка действий.

Обеспечить понимание необходимости таких правил можно соз­дать с помощью экспериментирования с выражением в несколько действий. Например, вычислим значение выражения 7 - 3 · 2 + 15: 5, выполняя действия в трех разных последовательностях: 1) - · + (в порядке записи); 2) - + ·: (вначале сложение и вычитание, потом умножение и деление); 3) ·: - + (вначале умножение и деление, за­тем сложение и вычитание). В результате получим три разных зна­чения: 1) 4 (ост. 3); 2) 13 (ост. 3); 3) 6. Обсуждая с учащимися воз­никшую ситуацию, делаем вывод: нужно договориться и принять только одну последовательность в качестве общепринятого правила действий. А так как значения выражений вычисляли еще и до нас, да еще и не одну сотню лет, то, вероятно, такие договоренности уже есть. Находим их в учебнике.

Далее обсуждаем с учащимися необходимость знания этих пра­вил и умения их применять. Обосновав для самих себя такую не­обходимость, учащиеся вполне могут попытаться сами определить для себя виды учебной работы, выполняя которую, они смогут за­помнить правила и научиться их безошибочно выполнять. Такое определение видов учебной работы может быть намечено в группо­вой работе и на том же уроке некоторые виды такой работы могут быть выполнены. В процессе работы группы учащиеся знакомятся с содержанием соответствующих страниц учебника и тетради для самостоятельной работы к учебнику, могут сами дополнить учеб­ные задания, выполнить некоторые из них, проверить себя и затем сделать отчет работы в группе по тому, что уже освоили в результате работы в группе. Например: «В нашей группе все научились в выра­жениях без скобок в три-четыре действия определять порядок дей­ствий, обращаясь к тексту правила в учебнике, и обозначать этот порядок номерами действий над знаками действий в выражении». Затем ставится цель научиться находить значения таких «больших» выражений — в три-четыре и более действий на многих уроках уча-

щиеся выполняют учебные действия для ее достижения. Способ на­хождения значений составного выражения может быть представлен в алгоритмическом виде.

Алгоритмнахождениязначениячисловоговыражения (задансло­веснымпредписаниемввидеперечняшагов).

• 1. Если ввыраженииестьскобки, то выполнитьдействиявскоб­кахкакввыражениибезскобок. • 2. Если ввыражениинетскобок, то: а) если ввыражениитолькосложениеи (или) вычитаниеилитолько умножениеи (или) деление, то выполнитьэтидействияпопорядку слева-направо; б) есливвыраженииестьдействияизгруппысложе­ние—вычитаниеиизгруппыумножение—деление, то выполнить вначалеумножениеиделениепопорядкуслева-направо, затем вы­полнитьсложениеивычитаниепопорядкуслева-направо.• 3. Результат последнегодействияназватьзначениемвыражения.

Особую роль в обучении играют способы нахождения значений выражений на основе свойств действий. Такие способы заключаются в том, что вначале выражения преобразуются на основе свойств дей­ствий, и лишь потом применяются правила порядка действий. На­пример, нужно найти значение выражения: 23 + 78 + 77. По правилам порядка действий нужно вначале к 23 прибавить 78, а к результату прибавить 17. Однако переместительное и сочетательное свойства или правило «Складывать числа можно в любом порядке» позволяет нам это выражение заменить равным ему с другим порядком действий 23 + 77 + 78. Выполнив действия в соответствии с правилами поряд­ка действий, легко получим результат 100 + 78 = 178.

Собственно математическая деятельность, математическое раз­витие учащихся происходит именно тогда, когда они ищут рацио­нальные или оригинальные способы преобразования выражений с последующими удобными вычислениями. Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся привычку в любых не калькуляторных вы­числениях, искать способы упрощения вычислений, преобразования выражений с тем, чтобы вместо громоздких, некрасивых вычисле­ний искомое значение выражения находилось с помощью простых и красивых случаев вычисления. Задания формулируются для этого так «Вычисли удобным (или рациональным) способом …».

Нахождение значений буквенных выражений — важное умение, которое формирует представления о переменной и является основой понимания в дальнейшем функциональной зависимости. Очень удоб­ной формой заданий на нахождение значений буквенных выражений и для наблюдения зависимости значения выражения от значений вхо­дящих в него букв является табличная. Например, по табл. 8.1 уча­щиеся могут установить ряд зависимостей: если значения а являются последовательными числами, то значения 2а есть последовательные четные числа, а значения 3а — каждые третьи числа, начиная со зна­чения 3а при наименьшем значении а и др.

Таблица 8.1

 

а

2а

3 а

2 а + 3 а

2 а -5

10-3 а

Сравнение выражений. На выражения переносятся отношения, связывающие значения выражений. Основной способ сравнения — нахождение значений сравниваемых выражений и сравнение значе­ний выражения. Алгоритм сравнения:

• 1. Найтизначениясравниваемыхвыражений. • 2. Сравнитьполучен­ныечисла. • 3. Результатсравнениячиселперенестинавыражения. Если требуется, поставитьмеждувыражениямисоответствующийзнак. Конец.

Также как и при нахождении значений выражений ценятся спосо­бы сравнения, основанные на свойствах арифметических действий, свойствах числовых равенств и неравенств, так как такое сравнение требует дедуктивных рассуждений и потому обеспечивает развитие логического мышления.

Например, нужно сравнить 73 + 48 и 73 + 50. Известно свойство: «Если одно слагаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц». Следо­вательно, значение первого выражения меньше, чем значение второго, а значит первое выражение меньше второго, а второе — больше перво­го. Мы сравнили выражения без нахождения значений выражений, без выполнения каких-либо арифметических действий путем применения известного свойства сложения. Для таких случаев полезно сравнение выражений, записанных с использованием обобщающей символики. • Сравните выражения. © + Ф и © + (Ф + 4), © + Ф и © + (Ф - 4).

Интересны способы сравнения, основанные на преобразовании срав­ниваемых выражений — заменой их равными. Например: 18 · 4 и 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) и 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) и 25 · 117 - - 19 · 117 и т.п. Преобразуя выражение в одной части на основании свойств действий мы получаем выражения, сравнивать которые уже можно через сравне­ние чисел — компонентов одного и того же действия.

Пример. 126 + 487 и 428 + 150. Длясравненияприменимпереме-стительноесвойство. Получим: 487 + 126 и 428 и 150. Преобразуем первоевыражение: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Теперьсравнивать нужновыражения 463 + 150 и 428 + 150.

8.2.3. числовыеравенстваинеравенства вматематическомобразованиимладших школьников

В подразд. 8.1. отмечалось, что числовые равенства и неравен­ства — понятия того же рода, что и выражения: это записи опреде­ленного вида. Все виды числовых равенств и неравенств могут быть представлены так: А = В, А < В А > В А ≤   В А ≥   В, гд еА и В — числа, записанные цифрами, или числовые выражения. Учащиеся встреча­ются с числовыми равенствами и неравенствами как только начинают сравнивать числа и записывать результаты сравнения, выполнять ариф­метические действия и записывать сами действия и их результаты.

Термины «равенство», «неравенство», также как и «выражение», и даже «верное равенство (неравенство)» учителю нужно использовать в своей речи с момента появления соответствующих записей наряду с общим названием «записи». Мешает усвоению этой математической терминологии использование слова «пример», которым иногда учи­тель заменяет все математические термины, относящиеся к арифме­тическим действиям. Но в математике нет такого термина и нет соот­ветствующего понятия. Основное значение слова «пример» — пред­ставитель чего-либо, один из многих («Пример выражения — 17:3»). В большинстве современных учебников это слово не употребляется (кроме как в основном значении как слово русского языка). Однако традиция его употребления в несвойственном ему значении в прак­тике школы все еще не изжита. Начальная школа — это период, когда закладываются основы математического языка, поэтому здесь особо важна грамотность этого языка у самого учителя.

После накопления достаточного опыта работы с числовыми ра­венствами и неравенствами при изучении чисел и действий с ними, решении текстовых задач, опыта употребления некоторых терминов вслед за учителем, проводится урок явного введения названных поня­тий. Так как объектами понятий числового равенства и неравенства являются записи, то способом введения будет появление соответству­ющих записей и сообщение о том, как они называются. Например, в учебнике А. Л.Чекина это сделано через следующие задания.

Задания. •«1. Дополнизаписитак, чтобыониполучилисьверными:

7 = П 7 >П9 - 4 = ПП <10 5 + 3 = 3 + П

• 2. Невычисляязначениявыражения 13 + 12 сравниегосчислом 13. Результатсравнениязапишиспомощьюзнака>. Чемпохожиичем отличаютсязаписислеваисправа:»Слева: «5 = 5 3 + 4 = 7 10 - 2 = 8 12 + 13 = 13 + 12». Справа: «6 >5 3 <7 10 >8 13 + 12 >13.

Вселизаписиявляютсяверными? ВстолбикеслеванаписаныЧИС­ЛОВЫЕРАВЕНСТВА. ВстолбикесправанаписаныЧИСЛОВЫЕНЕРАВЕН­СТВА. Почемуэтизаписитакназываются?»¹

¹ ЧекинА.Л. Математика: 2 кл.: Учебник: В 2-хч. — Ч. 1. — М., 2008. — С. 13.

Усвоению понятий о верном (истинном) и неверном (ложном) равенстве и неравенстве способствует выполнение следующих за­даний.

Задания. • 1. Найдитезначенияданныхчисловыхвыраженийиза­пишитеверныечисловыеравенства. Изменитекомпонентывыраже­нийтак, чтобыновоевыражениебылобольше (меньше) прежнего. Используязначенияпрежнихчисловыхвыражений, запишитеверные числовыенеравенства. • 2. Данынескольконеверныхравенств. Пред­ложитенесколькоспособовизменений, превращающихневерныера­венствавверные. • 3. Данынескольконеверныхравенств. Замените внихзнакравенстванатакойзнакнеравенства, чтобынеравенства быливерными. • 4. Распределитеследующиезаписи: а) надвегруп­пы, б) четырегруппы: 75: 5 = 15 3 · 4 а + 12 3 >5 23 - 4 х >4 47 · 2 - у 72 <100, 12: 3 + 7 х + 127 = 200 14 · 5 >14 · 3. Предло­житенескольковариантовтакогоразделения.

В начальной школе известные свойства истинных числовых ра­венств и неравенств специально не изучаются. Но при изучении чисел и величин, арифметических действий они формулируются для отношений равенства и неравенства и интуитивно переносятся и на записи — на числовые равенства и неравенства. Формализация этих свойств в начальной школе нецелесообразна. Введенные тер­мины числовое равенство, числовое неравенство, верное числовое равенство, верное числовое неравенство позволяют грамотно фор­мулировать утверждения о числах и числовых выражениях, ставить задачу отыскания значений букв, при которых равенства и неравен­ства, содержащие буквы, будут верными, т. е. ставить задачу решения уравнений и простейших неравенств.