Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-27 | 556 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
( Это тоже следствие принципа максимума).
Теорема. Если две функции, гармонические внутри замкнутой ограниченной связной области V и непрерывные на её границе, равны друг другу всюду на границе области V, то они равны друг другу и всюду внутри V.
Иными словами, гармоническая внутри области V функция однозначно определяется своими значениями на границе области.
Доказательство. Пусть q 1(M) и q 2(M) – две гармонические функции, принимающие одинаковые значения на границе области V, обозначим через q (M) разность этих функций:
q (M)= q 1(M)– q 2(M).
Тогда q (M) – гармоническая внутри V функция, равная нулю всюду на границе области V. Докажем, что она равна нулю также всюду внутри V. Допустим, что внутри V найдутся точки, в которых функция отлична от нуля, например положительна. Тогда и наибольшее значение функции должно быть положительным. Но на границе функция q =0. Значит наибольшее значение достигается во внутренней точке области V. А это невозможно, т.к. q (M) – гармоническая функция.
Аналогичное противоречие мы получили бы, если бы внутри области оказалась бы точка, где функция отрицательна.
Итак, во всех точках области V функция q (M) должна равняться нулю: q (M)º0, откуда q 1(M) - q 2(M)º0 т.е. q 1(M) º q 2(M), что и требовалось доказать.
Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа от входных данных
( Это тоже следствие принципа максимума).
Напомним, что задача называется физически определённой, если малому изменению условий, определяющих решение задачи, в данном случае граничных условий, соответствует малое изменение самого решения.
Теорема. Пусть u 1 и u 2 – непрерывные в V + S гармонические внутри V функции, для которых | u 1– u 2|£ e на S. Тогда это же неравенство выполняется внутри V.
|
Это утверждение непосредственно вытекает из следствия 2 теоремы о наибольшем и наименьшем значениях, где доказывалось, что если | u |£ U | S, то это неравенство выполняется всюду в V + S. Действительно, обозначим . По условию теоремы | u 1– u 2|£ e на S, это значит, что на S, но e – это гармоническая функция. Возьмём три функции – e, и e. Имеем на границе . Значит . Что и требовалось доказать.
Задачи
1. Решить задачу Коши , , .
Решение. Это неоднородное уравнение. Его решение является суммой двух решений - общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения – это решение, получающееся по формуле Даламбера
Частным решением неоднородного уравнения в данной задаче является функция
.
Ответ.
2. Решить методом Фурье
Решение. Это первая краевая задача для уравнения колебаний струны с ненулевыми граничными условиями. Собственные числа и собственные функции первой краевой задачи для уравнения колебаний струны нам известны. (Кому неизвестны пожалуйста, повторите).
Но здесь неоднородные граничные условия
Делаем замену переменных: , где должна удовлетворять условиям: ; Тогда . Получили , тогда граничные условия для функции будут: ; то есть они становятся однородными (нулевыми).
Начальные условия для функции :
Уравнение для функции у нас остаётся однородным: .
Решение этого уравнения при нулевых граничных условиях имеет вид:
,
где и - это коэффициенты Фурье начальных данных.
Ввиду ортогональности системы синусов, этот интеграл не равен нулю только при
= интегрируем по частям:
Отсюда
Ответ:
3. Решить методом Фурье
Решение. Это неоднородное уравнение. Решения неоднородных уравнений ищутся в виде суммы двух функций , где - решение однородной задачи для уравнения со всеми поставленными в задаче начальными и граничными условиями, а - решение неоднородной задачи для уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями.
|
Очевидно, что в этом случае функция будет представлять искомое решение неоднородного уравнения. В нашем случае функция будет равна нулю, ввиду нулевых начальных и граничных условий. Но нам для решения неоднородной задачи потребуются собственные числа и собственные функции однородной задачи. В нашем случае однородная задача является первой краевой задачей, её собственные числа и собственные функции нам известны: , . Решение неоднородной задачи ищется в виде ряда по собственным функциям однородной задачи: , где необходимо будет найти, а для этого неоднородность также необходимо разложить в ряд Фурье по собственным функциям однородной задачи. Видно, что выбранная в таком виде функция удовлетворяет нулевым граничным условиям за счёт присутствующего в ней сомножителя , а для получения нулевых начальных условий, надо потребовать, чтобы и .
Итак, разложим функцию в ряд Фурье по собственной системе функций . Найдём коэффициенты Фурье :
Итак, для отыскания функций имеем уравнение:
.
Решение этого обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения: При нашей правой части частное решение ищется в виде Подставляем в уравнение получаем: Отсюда
Значит
Подставляя начальные данные найдём коэффициенты и :
Отсюда
Итак, функции - найдены.
Поскольку , получаем ответ.
Ответ.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!