Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-27 | 653 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть нам дана конечная, однородная струна, закреплённая на концах (т.е. в точках x= 0 и x=l). Если на неё не действуют внешние силы, то функция u (x,t), дающая закон колебания струны должна удовлетворять уравнению:
.
Граничным условиям:
u (0, t)=0; u (l,t)=0.
И начальным условиям:
.
Здесь сформулирована 1-я краевая задача. Видно, что как само уравнение, так и дополнительные условия (граничные) однородны, поэтому если некоторые функции удовлетворяют уравнению и граничным условиям, то и любая их линейная комбинация также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям. На этом и основан метод Фурье. Суть его заключается в том, что на первом этапе мы находим некоторый запас функций, удовлетворяющих уравнению и граничным условиям; пусть это будут функции u 1(x,t), u 2(x,t), …, un (x,t) … На втором этапе строится линейная комбинация из этих функций:
u (x,t) =c 1 u 1(x,t) + c 2 u 2(x,t) +…+ cnun (x,t) +…
Здесь под линейной комбинацией понимается и сумма бесконечного ряда.
В силу однородности уравнения и однородности граничных условий эта сумма также удовлетворяет и уравнению и граничным условиям при любых значениях коэффициентов ряда ci; остаётся подобрать эти коэффициенты так, чтобы функция u (x,t) удовлетворяла и начальным условиям.
Для того чтобы осуществить этот план, попытаемся найти такие решения, которые представимы в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x (обозначим её X (x)), другая только от t (обозначим её T (t)):
u (x,t) = X (x)× T (t).
Если эта функция удовлетворяет уравнению колебаний, то в результате её подстановки в уравнение колебаний получим тождество:
.
Проведём дифференцирование:
.
Разделим переменные в этом тождестве, т.е. всё, что зависит от x переносим в одну сторону, всё что от t – в другую, получим:
|
Выражения, стоящие в обеих частях не зависят ни от x, ни от t. Действительно, левая часть не зависит от x, значит и правая от x не зависит. Далее, правая часть не зависит от t; следовательно, не зависит от t и левая часть. Значит обе части равенства вообще не зависят ни от x ни от t – следовательно, они константы:
Отсюда получаем два уравнения:
.
Поскольку мы ищем частные решения, удовлетворяющие граничным условиям, то при любом t должны соблюдаться условия:
Если бы обращался в ноль второй множитель, то решение равнялось бы нулю при всех значениях x и t. Поэтому, чтобы отыскать решения, не тождественно равные нулю (а только такие решения нас и интересуют) мы должны считать, что
X (0) = 0; X (l) = 0.
В результате для отыскания функции X (x) мы пришли к следующей задаче. Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка:
при условиях:
X (0) = X (l) = 0.
Эта задача носит название задачи Штурма-Лиувилля.
Разумеется, эта задача при любом С имеет решение, тождественно равное нулю: X (x) = 0. Оказывается, однако, что при некоторых значениях постоянной С, эта задача имеет и ненулевые решения.
1. Пусть . Тогда общее решение уравнения
имеет вид:
Удовлетворим это решение граничным условиям:
Так как определитель этой системы
не равен нулю, то система имеет единственное решение: C1=C2= 0.
Таким образом, в этом случае решений, отличных от тождественного нуля, не существует.
2. Пусть C= 0. Тогда уравнение становится особенно простым
.
Его решение – это любой полином первой степени
Подставляя в это решение граничные условия, имеем:
C 1=0; C 1 +C 2 l =0.
То есть, опять таки C1=C2= 0.
3. Пусть, наконец C=–l2< 0. Тогда уравнение будет следующим:
.
Его решение имеет вид:
Подставляем граничные условия:
=> => C 1=0,
=> => C 2×sin ll =0.
Последнее равенство возможно, когда C 2¹0, оно будет удовлетворяться при sin ll =0.
То есть при (k= ±1; ±2;….)
|
Итак, если , т.е. , то существуют решения уравнения колебаний струны, не равные тождественно нулю.
Решение, отвечающее некоторому фиксированному k обозначим через Xk (x). Оно имеет вид:
,
где Ak – произвольная постоянная. Мы вправе в дальнейшем рассматривать только положительные значения k= 1,2,…, поскольку при отрицательных k получатся решения того же вида (ведь Ak – произвольные постоянные, которые могут иметь любые знаки).
Как мы видим, каждому значению соответствует бесчисленное множество решений , отличающихся друг от друга постоянным множителем.
Величины называются собственными числами, а функции – собственными функциями дифференциального уравнения с краевыми условиями Именно с такими краевыми, условиями, поскольку, как мы увидим позднее, при других краевых условиях будут другие собственные функции, а не только .
Итак, задача отыскания решения уравнения
называется задачей Штурма-Лиувилля на собственные значения.
Видно, что найденные собственные функции – это система тригонометрических функций (в данном случае система синусов). Эта система функций ортогональна на интервале (0, l), что известно из курса анализа.
Теперь обратимся к отысканию функций T (t). Каждому собственному числу lk будет соответствовать своя функция Tk (t), определенная уравнением
,
или .
Это уравнение имеет точно такое же решение, как и уравнение
, то есть
где Bk и Dk произвольные постоянные.
Подставляя найденные Xk (x) и Tk (t) в формулу получим решение:
Внося множитель Ak в скобку и обозначая запишем:
Решения uk (x, t)называются собственными функциями задачи; соответствующие им колебания струны называются собственными колебаниями.
Сейчас осуществим вторую часть нашего плана: при помощи найденных собственных функций построим решение, удовлетворяющее начальным данным задачи.
В силу линейности и однородности уравнения колебаний струны, любая сумма решений uk (x,t) также будет решением:
Теперь будем выбирать произвольные постоянные и так, чтобы решение u (x,t) удовлетворяло первому начальному условию: .
Дифференцируя этот ряд по t, имеем:
И подставляя t =0, удовлетворим решение второму начальному условию:
Эти формулы показывают, что величины и являются коэффициентами Фурье разложения функций j (x) и y(x) в ряды Фурье по синусам в интервале от 0 до l (0, l).
|
Вспоминая формулы для этих коэффициентов, найдём (чёрточки у и опустим):
.
Эти константы называются коэффициентами Фурье начальных данных. То есть мы получаем решение в следующем виде:
где
.
коэффициенты Фурье начальных данных.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!