Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-11-17 | 248 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде:
(4.1)
при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения (4.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (4.1) -го порядка называется такое его решение:
(4.2)
которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).
Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи экономики, физики, биологии, экологии и т.п.
v Уравнения, интегрируемые непосредственно.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением, интегрируемым непосредственно, если оно может быть представлено в виде:
(4.3)
или в виде:
(4.4)
где , , - некоторые функции переменной .
В этом случае уравнение (4.3) можно проинтегрировать непосредственно, т. е.
(4.5)
Уравнение (4.4) можно привести к виду (4.3):
,
тогда
. (4.6)
Пример
Решить уравнение .
Решение.
.
Проинтегрируем непосредственно:
.
Итак,
.
Пример
Решить уравнение .
Решение.
Преобразуем уравнение:
;
.
Итак,
.
Дифференциальные уравнения первого порядка
v Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
(4.7)
или в виде:
(4.8)
где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример
Решить уравнение .
Решение.
.
Умножим обе части равенства на .
.
Получившееся равенство разделим на .
;
откуда:
; ; ; .
v Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:
, (4.9)
где - некоторая функция (одной переменной).
Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени , если для произвольного числа выполняется равенство:
(4.10)
Однородные уравнения при помощи подстановки приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример.
Решить уравнение: .
Решение.
Так как , то уравнение имеет вид (4.9) при . Положим , отсюда и . Подставим в преобразованное уравнение:
,
.
Получим уравнение с разделяющимися переменными:
.
Разделим обе части равенства на и умножим на (, т.е. , но следует отметить, что является решением исходного уравнения).
.
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем:
,
,
.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получим:
, откуда (при получаем решение ).
v Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
(4.11)
где и - некоторые (непрерывные) функции переменной .
Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения: будем искать решение в виде , тем самым искомыми становятся функции и , одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения (4.11). Т.е. используется в решении замена .
Пример.
Решить уравнение: .
Решение.
Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Пусть , , тогда уравнение примет вид:
или .
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например ) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными.
или ; откуда: .
Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при , откуда .
При исходное уравнение обратится в уравнение:
или .
Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем:
.
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!