Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-11-17 | 232 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функций одной переменной
Понятие производной, ее свойства
Пусть задана на интервале . Возьмем некоторую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Если существует конечный предел , то его называют производной функции в точке . Если такой предел существует в каждой точке , то он называется производной от функции на . Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием.
Для обозначения производной в точке используются символы:
.
Правила дифференцирования.
1. Если функции и дифференцируемы в точке , то в точке дифференцируемы функции , , , , и справедливы формулы:
§ ;
§ ;
§ ;
§ .
2. Производная сложной функции: если дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула:
,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции .
Замечание. Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для вычисления производной функции , если , , дифференцируемы, справедлива формула:
.
Приведем таблицу производных основных элементарных функций:
Функция | Производная |
, | |
, | |
Рассмотрим решение примеров.
Пример № 1.
.
Решение.
Пользуясь таблицей производных и свойствами производных, имеем:
.
Пример № 2.
Найти производную .
Решение.
.
Пример № 3.
Найти производную .
Решение.
.
Пример № 4.
Найти производную .
Решение. Так как функция является сложной вида , где , , то имеем:
.
Пример № 5.
|
Найти производную .
Решение.
.
Производные высших порядков
Пусть функция задана на и в каждой точке существует . Тогда мы имеем новую функцию , заданную на , называемую производной функции . Значит, имеет смысл говорить о производной функции , то есть о или о второй производной от функции , которая обозначается , , . И, обобщая данную ситуацию, можно сказать, что производной -го порядка от функции называется производная от -ой производной функции :
,
Дифференцирование некоторых функций
Дифференцирование неявных функций.
Пусть уравнение определяет как неявную функцию от . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.
Продифференцировав по обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции.
Пример № 1.
Найти производную из уравнения .
Решение.
Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно, . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим: , т.е. .
Пример № 2.
Найти производную из уравнения .
Решение.
Дифференцируя по обе части уравнения, получим:
,
т.е. .
Перенесём в одну сторону равенства все слагаемые, содержащие , тогда:
,
,
.
Дифференцирование степенно-показательной функции: .
Чтобы вычислить производную данной функции применятся специальный прием: предварительно прологарифмируем данное равенство по основанию , а затем продифференцируем по аргументу , учитывая, что функция сложная.
Пример № 3.
;
;
;
;
;
;
наконец: .
Замечание. Способ дифференцирования функции предварительным логарифмированием также эффективен при нахождении производной функции, являющейся произведением или частным нескольких функций.
Пример № 4.
Найти производную .
Решение.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию :
; ; ;
; ;
;
.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!