Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-11-17 | 303 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом промежутке.
Определение. | Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута. |
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.
Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
1. Найти ОДЗ функции .
2. Найти вторую производную функции .
3. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.
4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
5. Найти значения функции в точках перегиба.
Пример.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .
Решение.
1. ОДЗ: .
2. (см. пример №3).
.
3. Т.е. при и .
+ – +
1
4. на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция вогнута.
на интервале . Следовательно, функция на нем выпукла.
5. и есть точки перегиба.
Асимптоты графика функции
Определение. | Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки , лежащей на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат. |
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
1. Вертикальные.
Если при , то - вертикальная асимптота.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции .
2. Наклонные.
|
Прямая является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы:
, .
3. Горизонтальные.
Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных .
Пример.
Найти асимптоты кривой .
Решение.
Функция определена в интервалах , а и -точки разрыва. Так как , то прямая является вертикальной асимптотой кривой; , т.е. прямая не является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как и не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.
Находим:
;
.
Таким образом, существует правая наклонная асимптота .
Аналогично находятся:
;
.
Итак, существует наклонная асимптота .
Общая схема исследования функций и построения их графиков
1. Найти область определения функции и точки разрыва.
2. Исследовать функцию на четность () – нечетность (), периодичность ().
3. Найти точки пересечения графика функции с осью и если это несложно – с осью .
4. Найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
7. На основе проверенного анализа построить график функции.
Пример.
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
1. Область определения , т.е. . Точка – точка разрыва.
2. Четность, нечетность, периодичность:
.
Значит, функция не является ни четной, ни нечетной; и не является периодичной, т.к. нет такого Т, чтобы выполнилось равенство .
3. График функции проходит через начало координат.
4. Так как – точка разрыва, найдем предел функции при :
Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.
Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты:
.
.
Т.о., прямая - наклонная асимптота.
Горизонтальных асимптот нет.
5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем:
.
Производная обращается в ноль, если , т.е. при ; производная не существует при .
Однако критическими точками являются только точки (так как значение не входит в область определения функции).
|
Поскольку при , а при , то - точка максимума и - максимум функции ( - точка разрыва, т. е. в ней функция не может иметь экстремума).
На интервале функция убывает, на интервалах - возрастает.
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:
.
Вторая производная обращается в ноль при х=0 и не существует при х=-1. Очевидно, что на интервале и функция вогнута на этом интервале на интервалах , и на этих интервалах функция выпукла. Точкой перегиба является .
7. По данным исследований строим график:
-3 -1 0 2 | ||||||||||||||||||||||||
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!