Вычисление определённого интеграла

Рассмотрим на примере нахождения первообразной. Пусть в интеграле аргумент изменяется от x=2 до x=4. Найдём приращение первообразной функции

Приращение первообразной функции от постоянной не зависит; его и назвали определённым интегралом.

Обозначается символом: .

Вычисления записывают:

Определение. Приращение первообразной при изменении аргумента от x=a до x=b называется определённым интегралом ,

где a – нижний предел интегрирования,

b - верхний предел интегрирования.

Правило. Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти соответствующий неопределённый интеграл, в полученное выражение подставить вместо x сначала верхний, затем нижний пределы интегрирования, а результат найти вычитанием.

Для вычисления определённого интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:

Свойства определённого интеграла:

1) постоянный сомножитель можно выносить за знак интеграла (k=const)

2) определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции

3) если переставить пределы интегрирования, то знак определённого интеграла измениться на противоположный

.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем: .

Пример 2. Вычислить .

Решение. .

Пример 3. Вычислить .

Решение. .

Примечание. Значения тригонометрических функций смотри в приложении.

Пример 4. Вычислить .

Решение: .

Пример 5. Вычислить

Решение:

Вычисление площадей фигур

Определение. Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:

y=y(x) a b X Y Рис.1

· сверху - графиком непрерывной функции y=y(x) · снизу – осью OX (y=0) · слева – прямой x=a · справа – прямой x=b

Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:

(1)

Рассмотрим различные методы вычисления площадей плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 2) представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).

-1 X Y Рис. 2

Ответ: 6 кв.ед.

 

Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x [a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.

Рис. 3 y=f(x) X Y a b

(2)

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 4) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2).

 

Рис. 4 Y X

Ответ: 1/6 кв.ед.

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение: данная фигура (рис. 5)представляет собой разность криволинейных трапеций

Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и x2=1.

. Можно записать под один интеграл:

Y Рис. 5 X -2 y=-x+3

Ответ: 4,5 кв.ед.

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.

Решение: данная фигура (рис. 6) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S₁+S₂, где и . Получим формулу:

Рис. 6 X y=-x+3

Ответ: кв.ед.

Вычисление площадей фигур

№1	№2	№3
y =-	y=x2+1 y=5	y=x3

Ответы: №1 ln3 кв.ед., №2 кв.ед., №3 кв.ед.

Контрольные вопросы:

1. Что называют определённым интегралом?

2. Приведите формулу вычисления определённого интеграла.

3. Перечислить свойства определённого интеграла.

4. Приведите определение криволинейной трапеции.

5. В чём геометрический смысл определённого интеграла?

Практическая работа 2

«Интегрирование подстановкой»

Цель работы: формировать умения по решению основных задач

Выполнить задания