Решение дифференциальных уравнений в пакете Simulink

Цель работы

1. Определение непрерывных моделей систем автоматического управления по заданным дифференциальным уравнениям или заданным передаточным функциям.

2. Определение матриц коэффициентов состояния, управления, наблюдения и выхода системы по дифференциальным уравнениям систем автоматического управления.

Теоретическое обоснование:

Классической формой представления однопараметрической математической модели системы является дифференциальное или операторное уравнение

, (3.1)

(a_nsⁿ + a_{n- 1} s^{n -1} +…+ a ₁)× Y (s) = (b_ms^m + b_{m- 1} s^{m -1} +…+ b ₁)× U (s), (3.2)

где u, у - входной и выходной сигналы системы управления, a_n, b_m – коэффициенты дифференциального или операторного уравнения.

Из выражения (3.2) определяется передаточная функция

(3.3)

Одной передаточной функции системы управления (3.3) могут соответствовать несколько структурных схем, которые могут быть получены способами прямого, параллельного и последовательного программирования.

Непрерывная линейная система также может быть описана дифференциальным векторно-матричным уравнением

(3.4)

где А – матрица коэффициентов состояний размером k ´ k; В – матрица коэффициентов управления размером k ´ n; С – матрица коэффициентов наблюдения размером m ´ k и D – матрица коэффициентов выхода размером m ´ n; X – вектор состояния (матрица-столбец размером k ´1); U – вектор управления (матрица-столбец размером n ´1); Y – вектор наблюдения (матрица-столбец размером m ´1)[1]. Структурная схема вычисления значений векторно-матричных уравнений (3.4) изображена на рис. 3.1.

Описание работы

В пакете Simulink для передаточной функции (3.5) модели решения дифференциальных уравнений могут быть построены различными методами.

Рис. 3.1 Структурная схема вычисления значений векторно-матричных уравнений

(3.5)

Метод прямого программирования

Изображение выходного сигнала можно определить через изображение дополнительной переменной e (3.6, 3.7).

Y (s) = (s ² + 4 s + 3)× E (s), (3.6)

откуда

(3.7)

Уравнение (3.7) можно представить в виде дифференциального уравнения:

(3.8)

Уравнение (3.8) определяет схему моделирования (рис. 3.2). Выходная величина системы y (t)(3.6) является линейной комбинацией фазовых координат x_i. Фазовую координату интегратора 2 обозначают как x ₁, то есть e = x ₁, интегратора 1 – x ₂, то есть , и так далее. Тогда фазовые координаты схемы моделирования рис. 3.2 связаны следующими соотношениями:

(3.9)

Рис.3.2 Схема моделирования системы методом прямого программирования

Выходная величина y (t)определяется как линейная комбинация фазовых координат (3.6)

y = 3 x ₁+ 4 x ₂+ x ₃. (3.10)

Рис. 3.3. Результат моделирования методом прямого программирования

Из системы уравнений (3.9) и 3.10) можно получить векторно-матричное уравнение системы и матрицы коэффициентов: состояний А, управления В и наблюдения С (3.11):

(3.11)

C = [3 4 1], D = 0;

Метод параллельного программирования

Структурная схема для параллельного программирования получается из передаточной функции (3.6), если ее представить в виде суммы элементарных дробей. Коэффициенты С ₀, С ₁, С ₂, вычисленные методом Хевисайда, и корни знаменателя определяют с помощью программы:

coef=[1,7,10,0]; %Коэффициенты многочлена

r=roots(coef) %Корни многочлена

syms s %Символьная переменная

C0=limit([(s^2+4*s+3)*s/(s^3+7*s^2+10*s)],0) %Предел в точке s=0

Cl=limit([(s^2+4*s+3)*(s+5)/(s^3+7*s^2+10*s)],-5) %Предел в точке s=-5

C2=limit([(s^2+4*s+3)*(s+2)/(s^3+7*s^2+10*s)],-2) %Предел в точке s=-2

Откуда

(3.12)

(3.13)

. (3.14)

С учетом выражений (3.13, 3.14) получена схема моделирования методом параллельного программирования (рис. 3.4).

Из схемы моделирования (рис. 3.4) получена матрица коэффициентов состояний А и матрица коэффициентов наблюдения С (3.15).Матрица A при параллельном программировании имеет диагональный вид, что достигается выбором базиса, при котором фазовые координаты не влияют друг на друга. Этот метод программирования особенно удобен при действительных корнях полиномов числителя и знаменателя.

Рис. 3.4 Схема моделирования системы методом параллельного программирования

(3.15)

Откуда:

D = 0.

Результат моделирования приведен на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Результат моделирования методом параллельного программирования

Метод последовательного программирования

Структурную схему для последовательного программирования получают из передаточной функции (3.5), если ее разбить на блоки и для каждого блока представить схему моделирования

(3.16)

По блочной передаточной функции (3.15) составляем схему моделирования (рис. 3.6).

Рис. 3.6 Схема моделирования системы методом последовательного программирования

Из схемы моделирования (рис. 3.6) получена матрица коэффициентов состояний А,матрицакоэффициентов управления В и матрица коэффициентов наблюдения С:

(3.17)

или

(3.18)

C = [-1 -2 1], D = 0.

Результат моделирования приведен на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Результат моделирования методом последовательного программирования

Для сравнения эффективности методов необходимо построить схемы сравнения, изображенные на рис. 3.8 и 3.10. Результаты сравнения приведены, соответственно, на рис. 3.9 и 3.11.

Задание

1. По заданной передаточной функции методом прямого программирования составить схему моделирования в пакете Simulink и определить матрицы коэффициентов А, В, С, D.

2. В пакете Simulink построить график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.

Рис. 3.8 Структурная схема сравнения методов прямого и параллельного программирования

Рис. 3.9 Результаты сравнения методов прямого и параллельного программирования

Рис. 3.10. Сравнение методов прямого и последовательного программирования

Рис. 3.11. Результаты сравнения методов прямого и последовательного программирования

3. По заданной передаточной функции методом параллельного программирования составить схему моделирования в пакете Simulink и определить матрицы коэффициентов А, В, С, D.

4. В пакете Simulink построить график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.

5. По заданной передаточной функции методом последовательного программирования составить схему моделирования в пакете Simulink и определить матрицы коэффициентов А, В, С, D.

6. В пакете Simulink построить график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.

7. Построить графики сравнения реакции систем для методов прямого и параллельного программирования.

8. Построить графики сравнения реакции систем для методов прямого и последовательного программирования.

Содержание отчета

1. Дифференциальные уравнения для построения моделей методами прямого параллельного и последовательного программирования.

2. Структурные схемы исследуемой системы, полученные методами прямого, параллельного и последовательного программирования.

3. Матрицы коэффициентов состояний A, матрицы коэффициентов управления B, матрицы коэффициентов наблюдения C и матрицы коэффициентов выхода D системы для методов прямого, последовательного и параллельного программирования.

4. Графики реакции системы на единичное ступенчатое воздействие.

5. Графики сравнения реакции систем для методов прямого параллельного программирования и последовательного программирования.

Контрольные вопросы

1. Дайте сравнительную характеристику метода параллельного программирования и метода прямого программирования.

2. Дайте сравнительную характеристику метода параллельного программирования и метода последовательного программирования.

3. Определите размерность матрицы А.

4. Определите размерность матрицы B.

5. Определите размерность матрицы C.

6. Определите размерность матрицы D

7. Определите, какие параметры системы связывает матрица А.

8. Определите, какие параметры системы связывает матрица В.

9. Определите, какие параметры системы связывает матрица С.

Лабораторная работа № 4