Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-17 | 289 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(1).
Докажем эту формулу.
Производная от определителя n-го порядка (по строкам) равна сумме n определителей, получающихся из него поочерёдной заменой элементов каждой строки их производными. Так как все эти определители, кроме последнего, содержат две одинаковые строки и равны нулю, то в итоге будем иметь
(2).
Умножая элементы первых n-1 строк определителя (2) соответственно на и прибавляя их к элементам последней строки, учитывая, что L[yi]= =0, получим (3).
Записывая решение уравнения (3) в форме Коши, получаем (1).
Из формулы (1) видно, что если W(x0)=0, то во всём интервале (a,b).
Фундаментальная система решений (ФСР).
Совокупность любых n решений уравнения L[y] = 0, определённых и линейно независимых в интервале (a,b) называется фундаментальной системой решений в этом интервале. Чтобы система n решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы W(x) этих решений был отличен от нуля хоть в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения L[y] = 0. Из определения ФСР следует, что фундаментальных систем может быть бесконечное множество.
Очевидно, что все решения ненулевые. Покажем, что ФСР уравнения L[y] = 0 всегда существует.
Теорема.
Если коэффициенты уравнения L[y] = 0 непрерывны в интервале (a,b), то существует ФСР, определённых в этом интервале.
Доказательство.
Возьмём и построим решение у1 с начальными условиями при х = х0. Такое решение всегда существует и оно единственное на основании теоремы Пикара.
Аналогично построим у2 с начальными условиями при х=х0.
И так далее: при х=х0.
Вронскиан построенных решений в точке х=х0
Следовательно, y1,..., yn является ФСР на интервале (a,b).
Замечание. Построенная таким образом ФСР называется нормированной в точке х=х0.
|
Существует только одна ФСР, нормированная в точке х = .
Построение общего решения.
Знание ФСР даёт возможность построить общее решение уравнения L[y] = 0.
Основная теорема.
Если y1,..., yn – фундаментальная система решений, то формула (1) даёт общее решение уравнения L[y] = 0 в области , (2).
(1) является решением уравнения L[y] = 0, т.к. это линейная комбинация решений y1,..., yn. Покажем, что это общее решение.
Продифференцируем выражение (1) n-1 раз.
(3).
Система (3) разрешима относительно в области (2), так как W(x)≠0. Поэтому, согласно определению общего решения уравнения n-го порядка, выражение (1) является общим решением уравнения L[y] = 0 в области (2).
Формула (1) содержит все решения. Как найти частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям: (4) при х = . - любые наперёд заданные числа.
Подставим значения (4) в систему (3), получим и искомое решение имеет вид (5).
Формула (5) имеет наиболее простой вид, если ФСР нормирована в точке Х0. Тогда и (6).
Формулу (6) можно рассматривать как общее решение уравнения L[y] = 0 в форме Коши.
Пример. (7),
- ФСР. Тогда согласно основной теореме - общее решение уравнения (7).
Система решений не нормирована в точке х=0.
- также является ФСР, но уже нормированной в точке х=0.
Тогда общее решение заданного уравнения можно записать в виде , где - произвольные начальные условия в точке х=0.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!