Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-11-17 | 346 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Совокупность решений однородной системы (2), определенный и линейно независимыми в интервале , называется фундаментальной системой решений в интервале .
Кратко, , , (19).
Теорема:
Система (2) всегда имеет ФСР в области непрерывности коэффициентов системы.
Возьмём и построим решений
,
,
… (20)
,
со следующими начальными условиями:
, ,…, , при
, ,…, , при
…… (21)
, ,…, , при
Вронскиан решений (20) в точке равен единице.
Следовательно, совокупность решений (20) линейно независима и является ФСР.
Из доказательства теоремы следует, что фундаментальных систем существует бесконечное множество. Построенная фундаментальная система (21) называется нормированной в точке . Для каждой точки существует только одна нормированная в этой точке ФСР.
Построение общего решения.
Знание ФСР даёт возможность построения общего решения системы (2).
Основная теорема:
Если , , есть фундаментальная система решений в интервале , то формулы , (22), где
произвольные постоянные, дают общее решение системы в области , , .
Действительно, система (22) разрешима относительно , так как , кроме этого совокупность функций (22) является решением системы (2), что соответствует определению общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условиям при нужно подставить эти условия в систему (22).
, (230
находим , откуда следует, что , (24) – есть искомое решение.
Построение однородной линейной системы линейных уравнений, имеющей заданную ФСР.
Дано , ; (25)
Подставляем поочерёдно решения (25) в ое уравнение системы (2)
, ,
получим
, , (26)
Отсюда определяются все , единственным образом.
Эту систему можно записать:
(27)
Пример:
,
,
, ,
,
Общее решение неоднородной системы.
Теперь рассмотрим неоднородную систему (1): , . (1)
Введём новые функции :
, (28), где - решение неоднородной системы (1).
Подставляя (28) в систему (1), получаем: , (29)
Или, учитывая, что - решение неоднородной системы (1), получаем:
, (30)
(30) – есть однородная система, соответствующая системе (1), общее решение которой имеет вид: , (31)
Таким образом, подставляя (31) в (28) получаем:
, (32)
Это формула есть общее решение системы (1) во всей области задания системы.
26. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Теорема:
Если известна ФСР однородной системы (2), то общее решение неоднородной системы (1) может быть найдено при помощи квадратур.
Будем искать решение неоднородной системы (1) в виде:
, (33)
где ФСР однородной системы (2), а неизвестная непрерывно дифференцируемая функция.
Подставим (33) в (1), получаем:
или
или
, (34)
Решая систему (34), определитель которой в интервале , получаем
,
, (35)
Подставляя (35) в выражение (33) получаем
, (35)
Пример:
Решая соответствующую однородную систему, получаем:
ЛЕКЦИЯ 9:
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!