Теорема Пикара для нормальной системы n уравнений.

, (k = 1,2,...,n) (1), при условии: при (k=1,...,n).

1. Правые части системы (1) определены и непрерывны в области , (k = 1,2,...,n) и, следовательно, ограничены:

.

2. Функции , (k = 1,2,...,n) удовлетворяют условию Липшица относительно аргументов , т.е.

Точки и принадлежат R.

Тогда существует единственное решение в

промежутке , где и решение непрерывно дифференцируемо и

при этих значениях t не выходит за пределы области R. .

 

Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных и от параметров.

 

Если правая часть дифференциального уравнения (1) непрерывна по λ при и удовлетворяет условиям теоремы Пикара, причём постоянная Липшица не зависит от λ, то решение y = y(x, λ) (2) уравнения (1), удовлетворяющего условию непрерывно зависит от λ.

Доказательство.

Аналогично доказательству теоремы Пикара. (3), при .

Тем же методом можно показать непрерывную зависимость решения уравнения от начальных значений . При этом только уменьшается h

Вопрос о непрерывной зависимости решения от начальных данных сводится к вопросу о непрерывной зависимости решения от параметра. Сделаем замену: (4), .

Тогда уравнение , переходит в уравнение (5), к которому уже можно применить теорему о непрерывной зависимости решения от параметров (f удовлетворяет условиям теоремы Пикара).

Непрерывная зависимость от начальных данных, т.е. , где (или ) означает, что для что из неравенств следует, что

С возрастанием b число , как правило, уменьшается.

Особый интерес вызывает решение, которое мало изменяется при произвольном, но малом изменении начальных значений для сколь угодно больших значений аргумента. Такое решение называется устойчивым.

 

Теория устойчивости.

 

Рассмотрим систему (k = 1,2,...,n) (1) с начальным условием (k = 1,2,...,n), которое является результатом измерений и получено с некоторой погрешностью. Если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то такое решение не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не описывает изучаемое явление. Естественно возникает вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных данных вызывает сколь угодно малое изменение решения.

Если t меняется на конечном отрезке , то ответ уже получен теоремой о непрерывной зависимости решения от начальных значений.

Определение. Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого такое, что для любого той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам , (k = 1,2,...,n) (2).

Для всех справедливы неравенства , (k = 1,2,...,n) (3), т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех (можно писать ).

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенство (3) не выполняется, то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но, кроме этого, удовлетворяет условию (4), это решение называется асимптотически устойчивым.

Пример. Исследовать на устойчивость решение уравнения при условии ,

- асимптотически устойчиво, так как если и .

Сделаем замену в системе (1): (5), (k = 1,2,...,n).

Тогда система (1) будет иметь вид: (6), и новыми неизвестными функциями являются отклонения прежних неизвестных функций от , определяющих устойчивость решения.

Тогда исследовать на устойчивость нужно будет тривиальное решение , (k = 1,2,...,n).

Сформулируем определение устойчивости для точки покоя: , (k = 1,2,...,n). Эта точка покоя системы (6) устойчива в смысле Ляпунова, если , что из неравенства , (k = 1,2,...,n) следует , (k = 1,2,...,n) при .