Динамические характеристики автоматической системы

 

Динамической характеристикой называется взаимозависимость выходного воздействия от входного в переходном режиме:

Для линейных систем оператор А определяется разнообразными формами явного или неявного описания динамических характеристик, таких как линейные дифференциальные уравнения, передаточные и частотные передаточные функции, переходные и импульсные переходные функции.

Передаточная функция. Понятие передаточной функции основано на преобразованиях Лапласа, преобразующих функцию f (t) вещественного переменного t в функцию F (s) комплексного переменного в комплексной области. Изображение F (s) и оригинал f(t) связаны прямым и обратным интегральными преобразованиями:

;

Переход к лапласовым изображениям облегчает исследование сложных систем за счет замены дифференциальных уравнений алгебраическими, упрощает учет начальных условий и получение постоянных интегрирования, а также учет возмущений. Переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим осуществляется на основе преобразования производных функций:

;

;

;

Передаточной функцией называется отношение изображений по Лапласу выходного и входного воздействий с нулевыми начальными данными. Она является по типу уравнения коэффициентом в линейном соотношении

Если рассмотреть дифференциальное уравнение

затем перейти к изображениям по Лапласу согласно уравнению с учетом нулевых начальных условий

и разделить на собственный оператор системы, то получим с учетом дифференциальное уравнение системы в виде

где Wg, Wf— передаточные функции по задающему и возмущающему входам, представляющие собой дробно-рациональные функции:

**<»)=■

В реальных системах m< n и r< п. При s = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи по соответствующему входу (k_g, k_f).

Частотная передаточная функция. Понятие частотной передаточной функции строится на преобразованиях Фурье:

Вследствие физического смысла частоты, из которого вытекает ω > 0, преобразование Фурье может быть получено из преобразований Лапласа отбрасыванием в s действительной части α или заменой s на iω:

;

Частотной передаточной функцией называется отношение изображений по Фурье выходного и входного воздействий с нулевыми начальными условиями:

Частотную передаточную функцию удобно получать из передаточной заменой s на iω:

;

Используя это можем записать:

где A(ω) — амплитудная частотная функция:

φ(ω) — фазовая частотная функция:

;

Это определено тем, что при подаче на вход гармонического сигнала с амплитудой А _вх и частотой ω на выходе появится сигнал с новой амплитудой А _вых и сдвигом фазы φ той же частоты ω. Амплитудная и фазовая φ(ω) частотные функции являются характеристиками автоматической системы.

Для анализа автоматической системы строят следующие частотные характеристики (рис. 7.4):

годограф частотной передаточной функции (амплитудно-фазовая частотная характеристика), представляющий собой геометрическое место точек концов вектора W (iω) при изменении ω от 0 до ∞ (длина вектора — амплитудная характеристика, угол с положительным направлением действительной оси, отсчитываемый против часовой стрелки — фазовая характеристика).

Рис. 7.4 Частотные характеристики

 

- амплитудную частотную характеристику, представляющую собой зависимость амплитуды mod W (iω) от частоты ω при изменении частоты от 0 до ∞;

- фазовую частотную характеристику, представляющую собой зависимость фазы arg W (iω) от частоты ω при изменении частоты от 0 до ∞.

Переходная и импульсная переходная функции. Переходная функция h (t) представляет собой функциональную зависимость от времени выходного воздействия при подаче на вход воздействия типа единичной ступенчатой функции с нулевыми начальными условиями:

Q(p)h(t) = R(p)l(t).

В том случае, если на вход подается ступенчатое возмущение х_вх = Вh (t), на выходе получим х_вых = Bh (t) для линейной системы. Используя преобразование Лапласа и введенное понятие передаточной функции W (s), по аналогии запишем

H(s) = W(s) .

Импульсной переходной функцией g(t) называется реакция системы на единичную импульсную функцию δ(t) при нулевых начальных условиях:

Q(p)g(t)=R(p)δ(t).

Так как входное воздействие в (5.16) получается из входного воздействия дифференцированием последнего, то и импульс­ную переходную функцию g (t) для линейной системы можно полу­чить из переходной h (t) дифференцированием:

Здесь по аналогии получим

G(s) = W(s),

Что даёт основание передаточную функцию определять как преобразование Лапласа реакции системы на единичную импульсную функцию с нулевыми начальными условиями.

Типовые динамические звенья:

Независимо от конкретного исполнения и функционального назначения элементы САУ при исследовании ее динамики представляются в виде динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимается математическая модель элемента, объекта или части системы. Если звено представляется дифференциальным уравнением не выше второго порядка, оно называется элементарным:

T₁² х_вых + Т₂ х_вых + х_вых =k х_вх+ ….

Из этого уравнения можно получить ряд более простых уравнений, которые характеризуют типовые элементарные динамические звенья: безынерционное, инерционные 1-го и 2-го порядка, колебательное, интегрирующее, дифференцирующее.

Сложное динамическое звено представляет собой совокупность элементарных звеньев. Автоматическая система, включающая в себя бесчисленное множество элементов и объектов, может быть представлена конечным небольшим числом динамических звеньев.

 

Безынерционное звено

 

Безынерционным (усилительным) называется звено, характеризуемое и в статике, и в динамике алгебраическим уравнением:

.

Передаточная функция звена

.

Частотная передаточная функция , амплитудная частотная характеристика , фазовая частотная характеристика , переходная функция звена (рис. 7.5, г).

 

 

Рис. 7.5 Частотные характеристики и переходная функция безынерционного звена

 

Инерционное звено первого порядка

 

.

Передаточная функция и частотная передаточная функция

; .

Амплитудная и фазовая частотные характеристики

;

.

Переходная функция

.

 

 

Рис. 7.6 Частотные характеристики и переходная функция инерционного звена первого порядка

 

Инерционное звено второго порядка

 

при условии: T₂² – 4T₁² > 0.

Передаточная функция и частотная передаточная функция (рис. 7.7, а)

; .

 

Рис. 7.7 Частотные характеристики и переходная функция инерционного звена

второго порядка

 

Амплитудная и фазовая частотные характеристики

;

.

Переходная функция, согласно корням характеристического уравнения

T₁²p² + T₂p + 1 = 0

,:

.

 

Колебательное звено

 

при условии: T₂² – 4T₁² < 0.

 

 

Рис 7.8 Частотные характеристики и переходная функция колебательного звена

Интегрирующее звено

 

.

Передаточная функция и частотная передаточная функция

; .

Амплитудная и фазовая частотные характеристики

; .

Переходная функция

h(t) = .

 

 

Рис. 7.9 Частотные характеристики и переходная функция интегрирующего звена

 

Дифференцирующее звено

 

.

Характеристики звена:

; ;

; ; .

 

Рис. 7.10 Частотные характеристики и переходная функция дифференцирующего звена

 

Исследование динамических характеристик типовых звеньев САР можно провести аналитически с учетом фактических значений параметров K и T_i или с использованием специальных программ (см. комплекс “Avtomat”).

Для исследования динамических характеристик элементов и объектов САУ необходимо получить численные значения параметров динамических звеньев – коэффициента передачи К (статический параметр) и постоянной времени Т (динамический параметр). Коэффициент передачи можно получить из графика статической характеристики элемента, найденной либо аналитически на основании использования физического закона, описывающего реальный процесс, протекающий в элементе, либо экспериментально. Постоянную времени можно определить расчетным путем или путем выбора приведенных в справочных таблицах значений (как правило, принимаются средние значения).

 

 

7.7 Структура автоматических систем

 

Структуру автоматической системы подразделяют на принципиальную (конструктивную), функциональную и алгоритмическую. Исследование динамики основано на рассмотрении алгоритмической структуры. Алгоритмической структурой называется совокупность динамических звеньев и связей между ними, результирующий алгоритм которых совпадает с алгоритмом функционирования. Графическое изображение алгоритмической структуры называется алгоритмической схемой. Используется алгоритмическая схема двух типов: структурная схема и граф прохождения сигналов.

На структурной схеме звенья представляются прямоугольниками, в которых показывается оператор преобразования входной величины в выходную, а воздействия — стрелками. Кроме того, используются обозначения: сумматоры, элементы сравнения и узлы (разветвления), принятые в функциональных схемах. На графе прохождения сигналов вершине, изображаемой кружком или точкой, соответствует переменная, а ребру, изображаемому линией со стрелкой, — оператор.

Математическая модель САУ

Исходные дифференциальные уравнения системы составляются двумя методами: общим и с помощью передаточных функций.

Первый метод основан на имеющихся дифференциальных уравнениях элементов системы, записанных в операционной форме. Составляется система уравнений, которая разрешается относительно x_вых:

,

где – характеристический полином, определяющий свободное движение системы;

– полином, характеризующий влияние задающего воздействия x_з на выходную величину x_вых;

– полином, характеризующий влияние возмущающих воздействий x_f на x_вых.

Систему уравнений можно разрешить относительно ошибки, тогда

.

Допустим, САУ представлена структурной схемой (рис. 7.11).

 

Рис. 7.11 - Структурная схема САУ

 

Система дифференциальных уравнений:

;

;

;

;

.

Использовав метод подстановки, разрешим систему уравнений относительно x_вых:

;

D(p) = a₀ p⁴ + a₁ p³ + a₂ p² +a₃ p + a₄;

; N(p) = c₀ p³ + c₁ p² + c₂ p.

Аналогично можно разрешить систему уравнений относительно ошибки x.

Второй метод основан на передаточных функциях системы.

Необходимо получить передаточную функцию разомкнутой системы

,

где k₁ k₂ k₃ k₄ = k_общ.

Передаточная функция управляемого объекта по возмущению

.

Подставив эти выражения в уравнение, разрешенное относительно ошибки, получим:

.

Аналогично составляем уравнения относительно x_вых:

.

Динамические характеристики САР можно получить аналитически с учетом фактических значений параметров всех звеньев или с использованием специальных программ.

 

7.9 Устойчивость систем автоматического управления

Устойчивость — особое свойство системы, определяющее характер ее собственных движений х _с. Необходимое условие для автоматической системы — она должна быть устойчива.

Устойчивость системы — это свойство системы возвращаться в состояние установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие.

Состояние равновесия определяется видом входного воздействия и характеризуется невозмущенным движением системы. Оно описывается установившейся частью х _прешения и связано с корнями уравнения. Возмущенное движение в отклонениях от невозмущенного х _с =х - х _ппредставляет собой переходный процесс в автоматической системе, который определяется начальными отклонениями координат или внезапным появлением входного воздействия.

Следовательно, в аналитической форме условие устойчивости данного невозмущенного движения примет вид

 

lim x_с(t) → 0

t → ∞

Отсюда вытекает прямой способ исследования устойчивости системы: по найденному решению однородного дифференциального уравнения. Для устойчивой системы переходные процессы носят затухающий характер (переходная кривая стремится к установившемуся состоянию).

Однако, как было показано в предыдущем разделе, возмущенное движение линейной системы определяется корнями характеристического полинома. Cистема в таком случае будет устойчивой, если все вещественные корни s_h характеристического полинома отрицательны (первая сумма), а у комплексных отрицательна действительная часть а_г (вторая сумма). В этом случае кривые переходных процессов будут стремиться к оси абсцисс. Если вещественный корень Sk или действительная часть пары комплексных корней а_г положительны, то система неустойчива вследствие расходящегося переходного процесса. Случай s_h = 0 или ос; = 0 соответствует границе устойчивости соответственно апериодической или колебательной.

 

Критерии устойчивости. Специальные условия, выполнение которых позволяет обеспечивать устойчивость системы, называются критериями устойчивости. В отличие от непосредственного решения характеристического уравнения критерии устойчивости позволяют осуществлять анализ причин неустойчивости и намечать пути ее устранения.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости. Первые (Рауса, Гурвица) нетрудно проверить при ручном счете для системы невысокого порядка. Частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста) могут оказаться более предпочтительными для системы высоких порядков.

Критерий устойчивости Гурвица. Автоматическая система, имеющая характеристическое уравнение

a ₀λ ⁿ + a ₁λ ^{n -1}+…+ a_n =0

где а₀ > 0, устойчива при условии

Δ _i >0.

Определители Гурвица Δ _i находятся из матрицы коэффициентов

,

в которой по главной диагонали выписываются все коэффициенты, начиная со второго. Столбцы матрицы заполняются коэффициентами вверх от диагонали по возрастающим индексам, а вниз по убывающим. При индексе больше п и меньше нуля вместо коэффициентов записываются нули. Определители Δ _i выбираются из матрицы, состоящими из i строк и столбцов. Последний определитель Δ _n включает в себя всю матрицу и выражается через Δ _{n -1}:

Δ _{n -1}= a_n Δ _{n -1}.

Условие, соответствующее апериодической границе устойчивости, принимает вид

а _n =0,

а колебательной границе устойчивости

Δ _{n -1}=0

Анализ определителей Гурвица позволяете каждом частном случае условия устойчивости упростить. Так, для системы первого и второго порядков условие устойчивости а_i > 0; для системы третьего порядка a_i > 0, Δ₂ > 0; для системы четвертого порядка а_i > 0, Δ₃ > 0; для системы пятого порядка а_i > 0, Δ₄ > 0; Δ₂ > 0; для системы шестого порядка а_i > 0, Δ₅ > 0, Δ₃ > 0 и т. п.

Критерий устойчивости Михайлова. Автоматическая система при характеристическом полиноме D (λ) степени п будет устойчивой, если полное приращение фазы характеристического комплекса D (i ω) при изменении ω от 0 до ∞ составит п .

Характеристический комплекс D (i ω) получают из характеристического полинома

заменой λ= iω:

где ψ(ω) — фаза или аргумент комплекса;

Для исследования устойчивости на комплексной плоскости строят годограф Михайлова, т. е. кривую, которую прочертит конец вектора D (i ω). Если система устойчива, то кривая Михайлова плавно пройдет п квадрантов, уходя в последнем в бесконечность. Если кривая Михайлова пройдет меньше чем п квадрантов (больше п она пройти не может), то система неустойчива. Проход кривой Михайлова через нулевую точку осей координат соответствует границе устойчивости. Годографы Михайлова устойчивых систем различных порядков.

Построение кривой Михайлова обычно осуществляют, находя X (ω) = а_п - а _n-2 ω ² +... и Y (ω) = а_{п -1}– a_{n -3} ω³ +... непосредственно или путем чередования корней полиномов X (ω) и Y (ω), так как кривая Михайлова (рис. 7.12) должна для устойчивой системы поочередно пересечь оси абсцисс и ординат.

 

Рис. 7.12 - Годографы Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста. Критерий Найквиста характеризует устойчивость системы по годографу частотой передаточной функции разомкнутой системы, что проще и может быть осуществлено экспериментально.

При использовании критерия Найквиста следует проанализировать характер корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы W(s)=G(s) / Q(s), где G (s)и (s). Следует иметь в виду, что D (s)= Q (s)+ G (s) в соответствии с (5.78). Характер корней полинома Q (s)отражает наличие устойчивости или неустойчивости в разомкнутом состоянии системы.

Наиболее характерным является случай отсутствия корней знаменателя Q (s)передаточной функции разомкнутой системы W (s)в правой полуплоскости. Для этого случая критерий Найквиста трактуется следующим образом: устойчивость обеспечивается, если годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы W (s) не охватывает точку с координатами (-1, i 0). На рисунке показана графическая интерпретация этого критерия.

Наличие в знаменателе частотной передаточной функции разомкнутой системы нулевых корней по их числу соответствует степени астатизма системы. В этом случае критерий Найквиста формулируется аналогично. Лишь сам годограф в начальный момент отличается от годографа статической системы.

 

 

Рис. 7.13 - Годографы частотной передаточной функции разомкнутой системы: а. б — устойчивой; в — на границе устойчивости; г — неустойчивой

 

8 СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

 

В настоящее время всё большую роль оперативного контролёра играют средства автоматического контроля технического состояния подвижного состава на ходу поезда.