Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-11 | 1375 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 1.5.1. Минором порядка r матрицы () называется определитель порядка r, все элементы которого расположены на пересечении любых r строк и r столбцов этой матрицы.
Лемма 1.5.1. Если в матрице все миноры порядка r равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.
Доказательство.
Запишем определитель порядка r+1 и разложим его по элементам строки. После разложения, согласно теореме 1.3.1,определитель будет представлять собой сумму произведений элементов этой строки на их алгебраические дополнения, т. е. миноры порядка r с соответствующими знаками. По условию леммы такой определитель равен нулю.
Определение 1.5.2. В матрице А минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка r+1, полученные присоединением к исходному одной строки и одного столбца, равны нулю или не существуют.
Миноры r+1 порядка из определения называются окаймляющими по отношению к исходному и содержат его целиком внутри себя. Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, будем называть базисными столбцами и строками.
Замечание 1.5.1. Базисный минор определяется неоднозначно, однако, все базисные миноры имеют одинаковый порядок.
Определение 1.5.3. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора. Обозначается: rang A.
Замечание 1.5.2. Из определения ранга матрицы следует
а) для произвольной матрицы выполняется: ;
b) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. матрица А – нулевая;
c) дляквадратной матрицы А n -го порядка rangА = n тогда и только тогда, когда .
В общем случае для вычисления ранга матрицы будем использовать следующее правило: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор r- го порядка , отличный от нуля, то требуется вычислить все миноры r+1 порядка, окаймляющие минор . Если они все равны нулю или не существуют, то ранг матрицы равен r. Если хотя бы один из , то с ним следует поступить также как с минором .
|
Пример 1.5.1. Вычислить ранги следующих матриц:
a) b)
Решение:
a)
Базисным минором является минор ,и тогда, согласно определению 1.5.3, rangA =2.
b)
Базисным минором матрицы В является минор . Следовательно, rang B =3.
Как мы видим из примеров, поиск ранга матрицы приводит к вычислению некоторого, быть может, очень большого, числа миноров этой матрицы. Существует еще один способ нахождения ранга матрицы, не связанный с вычислениями миноров. Этот метод основан на предварительном упрощении матрицы при помощи элементарных преобразований.
Определение 1.5.4. Элементарными преобразованиями над матрицей называются следующие преобразования строк (столбцов) матрицы: 1) перестановка двух строк (столбцов) местами; 2) умножение строки (столбца) на любое отличное от нуля число; 3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число; 4) вычеркивание нулевой строки (столбца).
Определение 1.5.5. Матрицы А и В называются эквивалентными, если В можно получить из А с помощью конечного числа элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы будем обозначать следующим символом: А~В.
Теорема 1.5.1. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
Действительно, если к матрице применить элементарные преобразования 1–3, то эти же преобразования или часть из них будут совершены и над ее базисным минором. Из свойств определителя 2, 9 и следствия к свойству 5 следует, что базисный минор, хотя численно и может поменяться, но в нуль в результате данных преобразований не обратится, т.е. ранг матрицы не изменится. Вычеркивание нулевой строки (столбца) так же не может изменить порядка базисного минора, т.е. ранг матрицы остается прежним.
|
Определение 1.5.6. Говорят, что прямоугольная матрица порядка имеет диагональную форму, если элементы (), а все остальные элементы матрицы равны нулю.
Метод нахождения ранга матрицы при помощи элементарных преобразований состоит в следующем: для нахождения ранга матрицы нужно элементарными преобразованиями привести эту матрицу к диагональной форме и сосчитать количество единиц, стоящих в последней на главной диагонали.
Замечание 1.5.3. На практике для вычисления ранга матрицы удобно сочетать оба метода. А именно, приводя прямоугольную матрицу порядка к трапециевидной форме, вычислять миноры, используя пример 1.3.4.
Пример 1.5.2. Вычислить ранги матриц
а) b)
Решение:
а)
В результате элементарных преобразований над матрицей А получили эквивалентную ей верхнюю треугольную матрицу. Легко видеть, что
.
Следовательно, rang A =3.
b)
В матрице В минор , а миноров нет. Следовательно, rangВ=2.
Пример 1.5.3. Найти ранг матрицы в зависимости от действительных значений параметра а:
Решение.
Элементарными преобразованиями приведем матрицу к трапециевидной (или, если получится, к треугольной) форме:
После вычеркивания нулевой строки получается прямоугольная матрица размера , эквивалентная данной.
Если , то имеем матрицу
Ранг этой матрицы равен двум, так как она содержит, например, минор .
Если , то имеем матрицу, ранг которой равен трем, так как она содержит минор .
Таким образом, , если , и , если .
Замечание 1.5.4. Матрица в примере 1.5.3 элементарными преобразованиями приведена к ступенчатому виду
Ранг в этом случае можно также считать по количеству ненулевых строк. То есть, если , то имеем две ненулевых строки и ; если , то имеем три ненулевых строки и .
Теорема 1.5.2 (о базисном миноре). Всякая строка (столбец) матрицы А есть линейная комбинация базисных строк (столбцов) этой матрицы.
Доказательство.
Пусть ранг матрицы А равен r. Можно считать, что базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы. Если это не так, то заменой строк (столбцов) можно поместить этот минор в левый верхний угол. Окаймим матрицу базисного минора фрагментами i -й строки и j -го столбца матрицы A, где . Рассмотрим определитель построенной матрицы
Определитель как минор r+1 порядка в матрице с базисным миноромпорядка r. С другой стороны, раскладывая определитель по последнему столбцу (см. (1.3. )), получим:
|
. (1.5.1)
Здесь элемент стоит в (r+1)- й строке и (r+1)- м столбце определителя , поэтому . Так как , то разделив обе части равенства (1.5.1) на , получим: , где . А это и означает, что i -я строка является линейной комбинацией первых r базисных строк.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!