История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-10-11 | 383 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
I. Сложение матриц
Определение 1.2.1. Суммой двух матриц и называется матрица такая, что
, (1.2.1)
т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Сумма матриц А и В обозначается A+B.
Пример 1.2.1.
Дано
Найти А+В.
Решение.
A+B=
II. Умножение матрицы на число
Определение 1.2.2. Произведением матрицы на число называется матрица такая, что
(1.2.2)
т.е. каждый элемент матрицы С равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число .
Для произведения матрицы на число используют обозначение .
Пример 1.2.2.
Дано
Найти .
Решение.
Определение 1.2.3. Матрицу –A= (–1)A будем называть противоположной по отношению к матрице A.
Следствие 1.2.1. Разность матриц А и В определяется как сумма матриц А и (–В):
Пример 1.2.3. Найти разность А–В для матриц из примера 1.2.1.
Решение.
Свойства операций сложения и умножения на число:
1. (коммутативность сложения).
2. (ассоциативность сложения).
3. .
4. .
5. ,
6. .
7. .
Данные свойства представляются очевидными, так как сложение матриц и умножение их на число сводится к сложению и, соответственно, умножению чисел, а для чисел свойства 1–7 справедливы.
III. Произведение матриц
Операция умножения вводится только для тех пар матриц, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй.
Определение 1.2.4. Произведением матриц и называется матрица такая, что
, (1.2.3)
т.е. каждый элемент матрицы С, расположенный в i -й строке и j -м столбце, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B.
Произведение матриц А и В обозначается A·B.
Замечание 1.2.1. Матрица-произведение состоит из стольких строк, сколько их в первом сомножителе, и из стольких столбцов, сколько их во втором.
|
Пример 1.2.4.
Дано
Найти A·B.
Решение.
Для пары матриц A, B операция умножения определена, так как число столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы B, причем . Используя формулу (1.2.3), найдем:
где
Пример 1.2.5.
Дано
Найти A·B и B·A.
Решение.
Матрицы А и В – квадратные 2-го порядка, следовательно, произведения A·B и B·A определены и будут являться также квадратными матрицами 2-го порядка:
Замечание 1.2.2. Произведение матриц B·A из примера 1.2.4 не определено, так как количество столбцов матрицы B не равно количеству строк матрицы А.
Определение 1.2.5. Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение k -матриц, каждая из которых равна A.
Очевидно, что порядок матриц и А одинаковый.
Пример 1.2.6.
Дано
Найти .
Решение.
Свойства операции умножения матриц:
1. (некоммутативность умножения).
2. (ассоциативность умножения).
3. (левосторонняя дистрибутивность умножения
относительно сложения).
4. (правосторонняя дистрибутивность умножения относительно сложения).
Свойства 1– 4 выполняются для произвольных матриц А, В и С, однако, предполагается, что матрицы имеют размеры, обеспечивающие возможность их перемножения и сложения.
Замечание 1.2.3. В ряде случаев может выполняться , тогда матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими.
Замечание 1.2.4. Единичная матрица является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка, т. е.
. (1.2.4)
Некоммутативность произведения непосредственно следует из формулы (1.2.3), примеров 1.2.4, 1.2.5 и замечания 1.2.2.
Докажем свойство 2.
Дано
Доказать (A·B)·C=A∙(B·C).
Доказательство.
Введем обозначения:
.
Как мы видим, соответствующие произведения матриц слева и справа определены и результат произведений – матрицы F и H имеют одинаковый размер. Покажем, что соответствующие элементы этих матриц равны.
|
Используя формулу (1.2.3), получим:
,
.
Элементы и отличаются лишь порядком суммирования. Однако, так как суммирования по индексам k и l происходят независимо друг от друга, то порядок их выполнения безразличен. Таким образом, из определения 1.1.2 следует, что F=H.
Свойства 3 и 4 доказываются аналогично свойству 2.
IV. Транспонирование матриц
Пусть дана матрица .
Определение 1.2.6. Матрица , полученная из матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к А.
Таким образом, если
(1.2.5)
т.е. .
Переход от матрицы А к называется транспонированием.
Пример 1.2.7.
Дано
Найти
Решение.
Свойства операции транспонирования:
1. .
2. .
3.
4.
Замечание 1.2.5. Свойства линейности 2 и 3 можно заменить более общим:
.
Определение 1.2.7. Квадратная матрица называется симметричной, если и кососимметричной, если .
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!