Случайной называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее - какой именно.

Для обозначения случайной функции обычно используется символ X(t), где аргумент t чаще всего трактуется как время.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией. Реализация является обычной, неслучайной функцией. Группа опытов дает семейство реализаций. В общем случае случайная функция может представлять собой случайную величину, зависящую от многих аргументов.

Очевидно, что на графике можно изобразить только реализации случайной функции, как это показано на рисунке.

Реализации случайной функции.

Если зафиксировать, как показано на рисунке, значение аргумента, то получим реализации случайной величины, в которую превращается случайная функция при фиксированном значении аргумента. Эта случайная величина называется сечением случайной функции.

Таким образом, случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Поэтому ее можно трактовать как систему большого числа случайных величин:

X(t)→(X(t₁),...,X(t_k),...,X(t_m))

Чем больше случайных величин X(t_k) включает в себя эта система, тем полнее она представляет случайную функцию.

Следовательно, в качестве исчерпывающей вероятностной характеристики случайной функции может использоваться закон совместного распределения элементов вышеуказанной системы при достаточно большом их числе. Очевидно, что практически воспользоваться таким законом невозможно, в силу чего на практике используются характеристики случайных функций, подобные числовым характеристикам случайных величин: математическое ожидание m_x(t), дисперсия D_x(t) и корреляционная функция K_x(t, t').

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция D_x(t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции.

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов K_x(t, t'), которая при каждой паре значений t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

K_x(t, t') = M[(X(t)-m_x(t))(X(t')-m_x(t')]

Корреляционная функция является мерой стохастической зависимости между двумя сечениями случайной функции. Чем больше ее значение, тем теснее стохастическая связь.

По определению, K_x(t, t') = K_x (t', t), т.е. корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов. Кроме того:

K_x (t, t) = M[(X(t) – m_x(t))²] = D_x(t),

т.е. дисперсия случайной функции является частным случаем ее корреляционной функции, в силу чего отпадает необходимость в дисперсии как отдельной характеристике.

Отмеченные свойства корреляционной функции являются основными.

На практике удобно пользоваться нормированной корреляционной функцией, которая определяется зависимостью:

Очевидно, что:

Так как от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной случайной функции (t) = X(t)-m_x(t), для которой математическое ожидание равно нулю, то становится ясным, что корреляционная функция, включающая в себя и дисперсию как частный случай, является единственной существенной характеристикой случайных процессов.

Поэтому ее определению всегда уделяется повышенное внимание. С этой точки зрения важно различать нестационарные и стационарные случайные процессы. Для первых характерно то, что они имеют определенную тенденцию развития во времени. Примером такого процесса может служить процесс изменения давления в канале ствола артиллерийского орудия. Все характеристики таких процессов являются функциями времени. Стационарные процессы протекают во времени приблизительно однородно и имеют вид непрерывных колебаний относительно среднего значения.

Вероятностные характеристики таких процессов не зависят от времени, т.е.:

m _x = const,

D_x = const,

а корреляционная функция является функцией только одного аргумента, равного τ = t - t', в связи с чем она обозначается через k_x(τ). Последнее означает, что величина корреляционной функции процесса зависит только от удаленности сечений X(t) и X(t’) и не зависит от того, на каком участке временной оси эти сечения выбраны. Соответственно нормированная корреляционная функция стационарных процессов определяется как

Так как k_x(0) = D_x, то ρ_x(0) = 1.

Таким образом, для стационарных процессов построение корреляционной функции облегчается.

 

Определение характеристик случайных процессов по результатам испытаний.

 

Пусть над случайной функцией X(t) произведено n независимых опытов и получено n реализаций процесса. Требуется найти оценки для вероятностных характеристик m_x(t), D_x(t) и K_x(t, t’). Для этого рассматривается ряд сечений случайной функции для моментов времени:

t ₁, t ₂,…, t_k,…, t_e,…, t_m

и регистрируются значения, принятые функцией X(t) в эти моменты времени. Каждому из моментов t₁…., t_m будет соответствовать n значений случайной величины (на рисунке. – значения x₁,x₂,x₃). Значения t₁,…,t_m обычно задаются равноотстоящими, а величина интервала между соседними точками выбирается в зависимости от вида опытных кривых так, чтобы сохранить основную тенденцию процесса, т.е. чтобы по выбранным точкам можно было восстановить основной ход кривых.

Зарегистрированные значения функции X(t) заносятся в таблицу, каждая строка которой соответствует одной реализации (всего n строк), а число столбцов равно числу опорных значений аргумента (всего m столбцов). Очевидно, что в таком виде таблица будет представлять результаты n опытов над системой m случайных величин. Обработка данных такой таблицы ведется в последовательности:

,

_x(t_k) = ²,

K_x(t_k, t_l) =

Результаты расчетов удобно представить в виде таблицы:

 

Табл.

Результаты определения характеристик процесса X(t)

t / t	t1	...	tk	...	t2	...	tm
t1	1	...	x(t1,tk)	...	x(t1,t l)	...	x(t1,tm)
....	...	...	....	...	...	...	...
tk	...	...	k	...	x(tk,t l)	...	x(tk,tm)
...	...	...	...	...	...	...	...
t l	...	...	...	...	l	...	x(t l,tm)
...	...	...	...	...	...	...	...
tm	...	...	...	...	...	...	m

 

Как видно, по главной диагонали таблицы расположены оценки дисперсий соответствующих сечений, а на диагоналях, параллельных главной, содержатся оценки корреляционной функции:

_x(t₁,t_k),..., _x(t_k,t_l),..., _x(t_l,t_m)

Если процесс является стационарным, то наблюдающиеся различия между этими оценками нельзя считать значимыми, т.к. в силу ограниченности числа реализаций они содержат большой элемент случайности. В таком случае их следует осреднить по каждой из параллелей и получить таким образом оценки корреляционной функции стационарного процесса .