Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-10-10 | 400 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Подлежащая проверке гипотеза называется основной. Как правило, она предполагает отсутствие систематического расхождения между опытными и гипотетическими данными. Поэтому ее также называют нулевой гипотезой и обозначают через Hₒ. Содержание гипотезы записываются после двоеточия. Например, запись Hₒ: mₓ= а означает, что выдвинута основная гипотеза, заключающаяся в предположении: математическое ожидание случайной величины Х равно а. Каждой основной гипотезе противопоставляется альтернативная гипотеза H1.
Различают простые и сложные гипотезы. Простая гипотеза, относящаяся к одной из числовых характеристик случайной величины, оценивает эту характеристику однозначно, как это имеет место в вышеприведенном примере. В сложных гипотезах указывается некоторая область возможных значений характеристики, например:
Hₒ: mₓ>a; или Hₒ: mₓ≠a.
Основная и альтернативная гипотезы образуют систему рабочих гипотез. Обычно при формировании системы гипотез придерживаются правила: основная гипотеза является простой, а конкурирующая (альтернативная) может быть как простой, так и сложной. При этом очевидно, что любая сложная гипотеза является множеством (набором) простых. Так сложная гипотеза вида H1: mₓ> a может быть заменена множеством простых: H1': mx = a' >a, H1": mx= a" > a' и т.д.
Каждой основной гипотезе может быть противопоставлено несколько альтернативных. В результате проверки может оказаться, что выборочные данные (результаты испытаний, наблюдений, измерений) не согласуются с гипотезой Hₒ, противоречат ей. Тогда основная гипотеза отклоняется и принимается альтернативная. Решение об отклонении (или принятии) основной гипотезы всегда связано с риском, т.к. всегда существует вероятность того, что расхождение между гипотетическими и опытными данными не являются случайной погрешностью, а обусловлено воздействием кого-то систематического фактора.
Если гипотеза Hₒ отклоняется, когда она верна, то совершается ошибка первого рода. Вероятность этого события равна α. Ошибка второго рода будет иметь место в тех случаях, когда принимается альтернативная гипотеза H1, хотя в действительности она неверна. Вероятность такого события равна β.
Разность (1-β) представляет собою вероятность обусловленного отклонения основной гипотезы и называется мощностью критерия.
Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода (принять "ложь" за "истину").
Увеличению мощности критерия способствует правильная формулировка системы рабочих гипотез и правильный выбор критерия. Если эти условия соблюдают, то для увеличения мощности критерия есть только один путь - увеличение числа испытаний.
Существенным является понятие кривых эффективности критерия.
Такие кривые представлены на рисунке ниже. Как видно, они представляют собой зависимость вероятности β от |∆| при фиксированном объеме выборки n. Здесь |∆|= |a-a'|, где а соответствует основной гипотезе и а' - альтернативной. Для одних и тех же значений |∆| вероятность β тем меньше, чем больше объем выборки.
Основные статистики
В общем случае любая статистика Ѳ есть непрерывная случайная величина с известным законом распределения, функционально связанная с результатами испытаний. Отличительной особенностью статистик является то, что их значения могут быть представлены с гораздо большей точностью, нежели отдельные выборочные значения исследуемой случайной величины. Типичным примером статистики является выборочное среднее - оценка математического ожидания.
Особую роль среди статистик играют те, которые используются в случаях, когда исследуемая случайная величина Х подчинена нормальному распределению. Основные из них имеют свои собственные обозначения и наименования. Таковыми являются:
Z - статистика (условно - статистика Гаусса),
T - статистика (статистика Стьюдента),
V - статистика (статистика Пирсона)
F - статистика (статистика Фишера)
Расчетные формулы для этих статистик имеют вид:
где mx и sx2 - математическое ожидание и дисперсия величины Х,
и Sx2 - оценки математического ожидания и дисперсии,
n - число опытов (объем выборки),
S12 и S22 - оценки дисперсий случайных величин X1 и X2.
Каждая из этих статистик имеет связь с опытными данными, в чем нетрудно убедиться на примере Z - статистики:
где xi - опытные реализации случайной величины X.
Точно также каждая из них имеет известный закон распределения:
Сопоставим этот закон с законом распределения исследуемой случайной величины X:
Нетрудно видеть, что не содержит параметров . Это общий признак основных статистик: их законы распределения не содержат параметров закона распределения исходной случайной величины.
Каждая из основных статистик имеют свою область применения, т.е. свой круг задач: статистики Z, T и F используются при проверке гипотез о числовых характеристиках случайных величин, а статистика V, кроме того, используется еще и при проверке гипотез о законах распределения.
Понятие о критической области
Это понятие относится к статистике Ѳ и заключается в следующем:
Критической областью (КО) статистики Ѳ называется такое подмножество ω0 ее возможных значений, при попадании в которое основная гипотеза отклоняется.
Соответственно, то множество возможных значений Ѳ, при попадании в которое гипотеза Hₒ не отклоняется, называется допустимой областью или областью принятия основной гипотезы.
Точки, разделяющие критическую и допустимую области, называются критическими и обозначаются Ѳкр.
Критическая область может быть односторонней (правосторонняя или левосторонняя) и двусторонней. В последнем случае вместо обозначения Ѳкр обычно используют обозначения Ѳ1 (левая граница) и Ѳ2 (правая граница), как показано на рисунке:
Критические точки должны быть определены. В основу их определения положен принцип практической невозможности маловероятных событий, который реализуется следующим образом.
Задаются достаточно малой вероятностью проявления статистики Ѳ. Обозначают эту малую вероятность через α и называют уровнем значимости критерия проверки. Тогда критическая область ω0 определяется из условия:
т.е. ω0 рассматривается как область, вероятность попадания в которую возможных значений Ѳ равна α.
Таким образом, попадание Ѳ в область ω0 рассматривается как маловероятное событие. Поэтому в тех случаях, когда значение Ѳр, рассчитанное по опытным данным, все же попадает в область ω0, гипотеза Hₒ отклоняется. Если же Ѳр не попадает в область ω0, то гипотеза Hₒ принимается, т.е. полагают, что опытные данные ей не противоречат.
Нетрудно видеть, что уровни значимости α представляют собою количественную меру ошибки 1-ого рода, т.к. именно с вероятностью α гипотеза Hₒ отклоняется, даже если она верна.
Обычно .
Чем меньше α, тем менее вероятность допустить ошибку первого рода. Однако с уменьшением α уменьшается критическая область, а следовательно, становится менее возможным попадание в нее Ѳр даже когда гипотеза Hₒ неверна (при α = 0 гипотеза Hₒ всегда будет приниматься независимо от результатов испытаний). Поэтому уменьшение α влечет за собой увеличение вероятности принять неверную гипотезу, т.е. совершить ошибку второго рода (увеличение вероятности β). В этом смысле ошибки 1-ого и 2-ого рода являются конкурирующими.
Обратимся теперь непосредственно к вопросу об определении критических точек.
Если КО является левосторонней, то имеем:
откуда
В случае правосторонней КО:
откуда и .
Для двусторонней КО полагают:
Поэтому:
Общая схема проверки статистических гипотез
В общем случае процедура проверки статистических гипотез включает пять основных этапов, содержание которых представлено в таблице:
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!