Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-09-28 | 451 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение устойчивости САУ с использованием алгебраического критерия Гурвица, выполняется следующим образом.
Из коэффициентов характеристического уравнения системы строится определитель Гурвица D по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули;
4) количество строк и столбцов соответствует порядку характеристического уравнения
Число определителей Гурвица равно порядку характеристического уравнения n.
Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением:
,
устойчива, если при a0 >0 положительны все определители ∆1, ∆2,...∆ п вида
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.
Если n -й определитель ∆ п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n =1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка (n =1)
условие устойчивости: а0 >0 и ∆ 1 = а1 >0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (n =2)
условие устойчивости:
Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (n =3)
условие устойчивости:
При n =3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
4. Для уравнения четвертого порядка (n =4)
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
.
При n =4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при
.
Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆п-1 были положительными.
Критерий Гурвица применяют при n ≤ 5. При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.
При n >5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.
Пример. Определение степени устойчивости системы по заданной ПФ с использованием критерия Гурвица.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы задана в виде:
W(s) = k/s(T1s +1)(T2s +1)
Исследовать устойчивость системы.
Передаточная функция замкнутой системы:
Wзс(p) = W(p)/[1 + W(p)], ()
где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы. (см.Давыдов 4.1.9)
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение замкнутой системы:
D(p)=0, где D(p) =1+W(s)
при s = p получим:
p(T1p+1)(T2p+1)+ k = 0
Раскрыв скобки, получим характеристическое уравнение 3-го порядка:
T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.
Тогда для данного характеристического уравнения имеем следующие коэффициенты:
a0 = T1T2; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k.
Коэффициенты положительны.
Составим матрицу Гурвица, найдем определители этой матрицы.
Для устойчивости системы все они должны быть положительными:
Δ1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0; т.к. постоянные времени не могут быть отрицательными по физическому смыслу.
Δ2 = a1×a2 − a0 ×a3, откуда (T1 + T2) − k·T1·T2 > 0;
Δ3 = a1×a2×a3 − a0× = a3(a1×a2 − a0×a3),
откуда a3 >0, то есть k > 0.
Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид:
Из определителя Δ2 имеем: (T1 + T2) > k·T1·T2 или
С учетом вышеуказанного можно определить:
1) an = 0, k = 0;
2) Δn-1 = 0,
3) a0 = 0, T1·T2 = 0.
Используя данный прием, можно определить степень устойчивости системы, зная её ПФ, а также вычислить границы устойчивости замкнутой системы.
ЛЕКЦИЯ № 10
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!