Порядок выполнения лабораторной работы.

 

Работа рассчитана на два-три занятия и состоит из нескольких этапов.

 

На первом этапе преподаватель вкратце напоминает теоретические основы численных методов вычисления криволинейных интегралов и раздает задания. Примерный перечень вариантов заданий представлен в приложении 1.

 

На втором этапе студенты знакомятся с методическими указаниями по выполнению лабораторной работы и начинают аналитически вычислять значения заданного криволинейного интеграла в рабочей тетради.

 

Рекомендация. Если аналитические вычисления вызывают затруднение, можно перейти к третьему этапу, оставив аналитические вычисления на дом.

 

Примеры аналитических вычислений:

1. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга параболы у ² = 2 х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4) (рис.4).

Это – криволинейный интеграл первого

рода, причем кривая интегрирования задана

явно. Найдем дифференциал дуги dl для

кривой у = . Имеем:

Рис. 4.

у¢ = , dl = dx = dx

Следовательно, данный интеграл равен (2):

= dx = dx = dx =

= ∙ = (17 – 5 ).

 

2. Вычислить криволинейный интеграл , где L – окружность х ² + у ² = ах (a > 0).

 

Для представления окружности х ² + у ² = ах

в каноническом виде выделим полный квадрат по х:

х ² – ах + + у ² = , т.е. (х – )² + у ² = .

Это – окружность радиуса с центром в точке (, 0)

График этой окружности представлен на рис. 5. Рис.5.

Введем полярные координаты x = r cos φ, y = r sin φ. Подынтегральная функция в полярных координатах примет

вид = = r

Тогда, т.к. х ² + у ² = ах, имеем: r ² cos² φ + r ² sin² φ = a r cos φ или

r (cos² φ + sin² φ) = a cos φ. Окончательно, уравнение окружности L в полярных координатах имеет вид: r = a cos φ. Соответственно, дифференциал дуги (4):

dl = = dφ = a dφ.

При этом (см. рис. 5): φ .

Подынтегральная функция в полярных координатах примет

вид = = r

Таким образом,

= = а dφ = 2 а ².

3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции трех переменных , где L – дуга кривой, заданной параметрически x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ π.

 

Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции

5 z – 2 = 5 t – 2 = 3 t.

Теперь выразим через t дифференциал dl (3):

dl = dt = dt = = dt =

= dt =

Таким образом, = dt =

= d (2 + t ²) = = – 2 .

 

4. Вычислить криволинейный интеграл от точки А (0; 0) до точки В (1; 1) по кривым а) у = х, б) у = х ², в) у = (рис.6).

 

 

а) Из уравнения линии у = х получаем dy = dx, поэтому

= = .

б) Из уравнения линии у = х ² получаем dy =2 xdx, поэтому

= = .

в) Из уравнения линии х = получаем dy = dx, поэтому Рис.6.

= = .

 

Таким образом, интеграл второго рода в общем случае зависит от вида кривой, соединяющей конечные точки.

 

5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом x = a cos t, y = b sin t.

 

Площадь S области D, ограниченной кривой L, находят по формуле

S = .

Поэтому, в нашем случае

S = = = = = = πab.

 

 

Третий этап работы состоит в написании и отладке программы на знакомом (и доступном для рабочей ПЭВМ) языке программирования. Примеры программ на PASCALе вычисления криволинейных интегралов, рассмотренных в примерах, представлены ниже. Эти программы можно использовать в качестве тестовых при выполнении собственных заданий, т.к. отличия в программах будут незначительными.

 

Замечания. Для получения «красивых» таблиц

а) в строковых константах (в кавычках) при наборе их латиницей количество символов должно быть таким же, как и в примере, где они набраны кириллицей;

б) количество пробелов в строковых константах также должно быть таким же, как и в примере. Для этого последовательность количества пределов в строковой константе представлена в комментарии.

 

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл , где L –

дуга параболы у ² = 2 х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).

 

 

program ivanov_kri1_1; {по параболе АВ: у*у=2х, А(2,2), В(8,4)}

Var

x0,xn,dx,dy,s,xi,xc,yc,dl,tr: real;

n,i: integer;

function piv(x,y,dl: real): real; {подынтегральное выражение x / y dl }

Begin

piv:=x/y*dl

end;

function put(x: real): real; {кривая интегрирования sqrt(2x)}

Begin

put:= sqrt(2*x)

end;

Begin

writeln (‘введите пределы интегрирования по х: x0 и xn’);

read (x0,xn); {ввод x0,xn }

tr:=(17*sqrt(17) – 5*sqrt(5))/6; (аналитическое решение)}

writeln (‘введите число разбиений n отрезка [a,b]’);

read (n); {ввод n }

writeln( ‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 20 пробелов}

writeln;

writeln (‘ n точн.знач. числ.реш. абс.ош. отн.ош’);{4,7,2,3,5 пробелов}

writeln;

dx:=(xn–x0)/n;

s:=0; {интегральная сумма}

xi:=x0; {начальная точка частичных отрезков}

xс:=x0–dx/2; {серединная точка частичных отрезков}

for i:=1 to n do

Begin

xс:=xc+dx;

yc:=put(xc); {значение подынтегр. функции в серединной точке}

dy:= put(xi+dx) – put(xi); {приращение пути на частичном отрезке}

dl:=sqrt(dx*dx + dy*dy); {≈ длине дуги для частичного отрезка}

s:= s+ piv(xc,yc,dl)

xi:=xi+dx;

end;

writeln (n:6,tr:14:6,s:12:6,abs(s–tr):11:6,abs((s–tr)/tr):12:6);

readln;

readln;

end.

 

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид: