Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-09-28 | 277 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Явное задание кривой интегрирования. Пусть кривая АВ (L) задана уравнением у = у (х), х [ a, b ], при этом абсциссы точек А и В соответственно равны a и b. Предположим, что необходимо вычислить (приближенно) величину интеграла второго рода
+ Q (x, y) dy
от известных функций Р (x, y) и Q (x, y)
по кривой у = у (х) от точки А до точки В.
Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных
отрезков длины Δ х = (рис.3). В этом
случае каждая конечная точка такого час-
тичного отрезка легко вычисляется по
формуле: xi = а + i * Δ х (i = 1, 2, …, n).
Приращения функции у = у (х) на каждом
из частичных отрезков: Δ уi = у (xi) – у (xi -1).
В точке xi * = (i = 1, 2, …, n) – Рис.3.
середине каждого частичного отрезка – вычислим значения функции у = у (х): уi * = у (xi *).
Замечание 1. Середина первого частичного отрезка: x 1* = а + . Срединные точки последующих отрезков: xi * = x * i -1 + Δ х (i = 2, 3, …, n).
Замечание 2. Значения функции у = f (х) можно вычислять не только в середине частичных отрезков, но и в других удобных для вычисления точках, например, начальных (x 1* = а) или конечных (x 1* = Δ х) точках этих отрезков. В любом случае xi * = x * i -1 + Δ х (i = 2, 3, …, n).
Дальнейшая схема вычисления криволинейного интеграла второго рода имеет вид:
+ Q (x, y) dy = + Q (x, y) dy, (7)
где
+ Q (x, y) dy ≈ Р (xi *, уi *) Δ х + Q (xi *, уi *) Δ уi. (8)
При параметрическом задании кривой интегрирования x = x (t), y = y (t), где
t [ a, β ], алгоритм приближенного вычисления криволинейного интеграла второго рода мало чем отличается от приведенного выше. Отличие лишь в том, что на равные частичные отрезки разбивается отрезок [ a, β ], а приращения функций Δ хi и Δ уi на i -ом частичном отрезке вычисляется по формулам
|
Δ хi = x (ti) – x (ti -1), Δ уi = у (ti) – у (ti -1),
где ti – точки разбиения отрезка [ a, β ] (i = 1, 2, …, n).
Значения xi * и уi * в формуле (8) – это значения функций x = x (t), y = y (t) в срединной точке ti * i -го частичного отрезка: xi * = x (ti *), уi *= y (ti *).
Численный метод вычисления криволинейного интеграла первого рода
При явном и параметрическом задании кривой интегрирования алгоритм вычисления криволинейного интеграла первого рода практически остается таким же, как и в случае соответствующего интеграла второго рода, за исключением оператора суммирования интегральной суммы
= ,
где
≈ f (xi *, уi *) Δ si , Δ si = (см. рис.3). (9)
При явном задании кривой интегрирования, очевидно, что величина Δ хi постоянна (в соответствии с алгоритмом): Δ хi = Δ х = (i = 1, 2, …, n).
При задании кривой интегрирования в полярных координатах разбиению подлежит угол φ = β – a на угловые интервалы длины Δ φ = . В этом случае каждая конечная точка такого частичного интервала легко вычисляется по формуле: φi = a + i * Δ φ (i = 0, 1, 2, …, n).
Приращения функции r = r (φ) на каждом из частичных интервалов: Δ ri = r (φ i) – r (φ i -1). В точке φ i * = (i = 1, 2, …, n) – середине каждого углового частичного интервала –
вычислим значения функции r = r (φ):
r i * = r (φ i *). Тогда
= ,
где
≈ f (ri *, φi *) Δ si.
Рис.4.
Здесь Δ si = – аппроксимация длины дуги кривой L
| Мi -1 Мi | = Δ li: r i * * Δ φ – длина дуги Ci -1 Ci окружности радиуса r i *, опирающейся на угол Δ φ, приблизительно равная длине отрезка Мi -1 Ni; Δ ri – приращение функции r = r (φ) на i - ом частичном интервале (рис.4). Из почти прямоугольного треугольника Мi -1 Мi Ni получаем выражение для Δ si ≈ | Мi -1 Мi | = Δ li.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!