Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Определение 2.3. Случайная величина, обозначаемая X, называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество – конечное либо счетное множество.

Рассмотрим примеры дискретных случайных величин.

1. Однократно бросают две монеты. Число выпадений гербов в этом эксперименте – случайная величина Х. Ее возможные значения 0,1,2, т. е. – конечное множество.

2. Регистрируется число вызовов "Скорой помощи" в течение некоторого заданного промежутка времени. Случайная величина Х – число вызовов. Ее возможные значения 0, 1, 2, 3,...,т.е. ={0,1,2,3,...}– счетное множество.

3. В группе 25 студентов. В какой-то день регистрируется число студентов, пришедших на занятия, – случайная величина Х. Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3,...,25 т.е. ={0, 1, 2, 3,..., 25}.

Хотя все 25 человек в примере 3 пропустить занятия не могут, но случайная величина Х принимать это значение может. Это означает, что значения случайной величины обладают различной вероятностью.

Рассмотрим математическую модель дискретной случайной величины.

Пусть проводится случайный эксперимент, которому соответствует конечное или счетное пространство элементарных событий . Рассмотрим отображение этого пространства на множество действительных чисел, т. е. каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое действительное число , . Множество чисел при этом может быть конечным или счетным, т. е. или

Система подмножеств, в которую входит любое подмножество , в том числе одноточечное, образует -алгебру числового множества ( – конечно или счетно).

Поскольку любому элементарному событию поставлены в соответствие определенные вероятности р_i (в случае конечного все ), причем , то и каждому значению случайной величины можем поставить в соответствие определенную вероятность р_i, такую, что .

Пусть х – произвольное действительное число. Обозначим Р_Х(х) вероятность того, что случайная величина Х приняла значение, равное х, т.е. Р_Х(х)=Р(Х=х). Тогда функция Р_Х(х) может принимать положительные значения лишь при тех значениях х, которые принадлежат конечному либо счетному множеству , а при всех остальных значениях вероятность этого значения Р_Х(х)=0.

Итак, мы определили множество значений , -алгебру как систему любых подмножеств и каждому событию { X = х } сопоставили вероятность дпя любых , т.е. построили вероятностное пространство .

Например, пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в двукратном подбрасывании симметричной монеты, состоит из четырех элементарных событий: , где

при двукратном подбрасывании монеты выпали две решетки ; при двукратном подбрасывании монеты выпали два герба ;

при первом подбрасывании монеты выпала решетка, а при втором – герб ;

= при первом подбрасывании монеты выпал герб, а при втором – решетка .

Пусть случайная величина Х – число выпадений решетки. Она определена на и множество ее значений . Все возможные подмножества , в том числе и одноточечные, образуют - алгебру, т.е. ={Ø, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}.

Вероятность события { Х=х_i }, і = 1,2,3, определим как вероятность появления события, являющегося его прообразом:

;

;

.

Таким образом, на элементарных событиях { X = х_i } задали числовую функцию Р_Х, так, что .

Определение 2.4. Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (х_i, р_i), где х_i – возможные значения случайной величины, а р_i – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующиеим вероятности:

			…		…
			…		…

Такая таблица называется рядом распределения. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, его изображают графически: на оси Ох наносят точки х_i и проводят из них перпендикуляры длиной р_i. Полученные точки соединяют и получают многоугольник, который является однойиз форм закона распределения (рис. 2.1).

 

 

Рис. 2.1

Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать ее значения и соответствующиеим вероятности.

Пример 2.2. Денежный приемник автомата срабатывает при каждом опускании монеты с вероятностью р. Как только он сработал, монеты не опускают. Пусть Х – число монет, которые надо опустить до срабатывания денежного приемника автомата. Построить ряд распределения дискретной случайной величины Х.

Решение. Возможные значения случайной величины Х: х₁ = 1, х₂ = 2,..., х_к=к, … Найдем вероятности этих значений: р₁ – вероятность того, что денежный приемник сработает при первом опускании, и р₁ =р; р₂ – вероятность того, что будут произведены две попытки. Для этого нужно, чтобы: 1) при первой попытке денежный приемник не сработал; 2) при второй попытке – сработал. Вероятность этого события равна (1–р)р. Аналогично и так далее, . Ряд распределения Х примет вид

	1	2	3	…	к	…
	р	qp	q2 p		qr-1 p

 

Заметим, что вероятности р_к образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1–p=q, q<1, поэтому такое распределение вероятностей называется геометрическим.

ІІредположим далее, что построена математическая модель эксперимента, описываемого дискретной случайной величиной Х, и рассмотрим вычисление вероятностей наступления произвольных событий .

Пусть произвольное событие содержит конечное либо счетное множество значений х_i: A= { х₁, х₂,..., х_i,... }.Событие А можно представить в виде объединения несовместных событий вида : . Тогда, применяя аксиому Колмогорова 3, получаем

,

так как вероятности наступления событий мы определили равными вероятностям появления событий, являющихся их прообразами. Это значит, что и вероятность любого события , , можно вычислить по формуле , так как это событие представимо в виде, объединения событий , где .

Тогда и функция распределения F(х) = Р(– <Х<х) находится по формуле . Отсюда следует, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками, т. е. является ступенчатой функцией (рис. 2.2):

 

 

Рис. 2.2

Если множество конечно, то число слагаемых в формуле конечно, если же счётно, то и число слагаемых счетно.

Пример 2.3. Техническое устройство состоит из двух элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выходаиз строя первого элемента за время Т равна 0,2, а вероятность выхода второго элемента – 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов за время Т. Найти функцию распределения случайнойвеличины и построить ее график.

Решение. Пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в исследовании надежности двух элементов технического устройства, определяется четырьмя элементарными событиями , , , : – оба элемента исправны; – первый элемент исправен, второй неисправен; – первый элемент неисправен, второй исправен; – оба элемента неисправны. Каждоеиз элементарных событий можно выразить через элементарные события пространств и , где – первый элемент исправен; – первый элемент вышел из строя; – второй элемент исправен; – второй элемент вышел из строя. Тогда , и таккак элементы технического устройства работают независимо друг от друга, то

;

;

;

.

Очевидно, что множество значений случайной величины Х – число отказавших элементов – состоит из трех элементов: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ =2 т.е. . Распределение вероятностей случайной величины Х на множестве зададим так, чтобы вероятность наступления события { } была равна вероятности наступления прообраза этого события, т.е. i =1, 2, 3:

, так как – прообраз элемента ,

, так как прообразом элемента является множество ;

, так как прообразом элемента является элементарное событие . Полученный закон распределения представим в виде таблицы распределения:

	0,72	0,26	0,02

Согласно определению,функция распределения равна:

График функции F(x) представлен на рисунке 2.3.

Ответ: функция распределения

 

Рис. 2.3

 

 

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение дискретной случайной величины .

2. Как определяется вероятность события ?

3. Сформулируйте определение закона распределения дискретной случайной величины .

4. В какой форме задается закон распределения дискретной случайной величины ?

5. Что является графиком ряда распределения?

6. Как вычислить вероятность события ?

7. Как вычислить функцию распределения дискретной случайной величины и построить ее график?

8. Чему равна вероятность того, что значения дискретной случайной величины принадлежат промежутку ?