Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство ( _Х, F_Х, Р_Х), образованное случайной величиной Х.

Определение 2.2. Функцией распределения случайной величины Х называется функция действительного переменного х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х:

. (2.1)

Там, где понятно, о какой случайной величине X, Y или Z идет речь, вместо будем писать F(х).

Если рассматривать случайную величину X как случайную точку на оси Ох то функция распределения F(х) с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.

Очевидно, что функция распределения F(х) при любом х удовлетворяет неравенству .

Функция распределения случайной величины Х имеет следующие свойства.

1 °. Функция распределения – неубывающая функция х, т. е. для любых х₁ и х_2, таких, что х₁<х₂, имеет место неравенство .

Доказательство. Пусть х₁ и х₂ и х₁ < х₂. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х₂, , представим в виде объединения двух несовместных событий и :

Тогда, согласно аксиоме 3 Колмогорова, . Воспользовавшись определением функции распрделения, применив формулу (2.1), получим:

(2.2)

откуда , так как . [1]

Теорема 2.1. Для любых х₁ и х₂ вероятность неравенства вычисляется по формуле

. (2.3)

Доказательство. Справедливость формулы (2.3) следует из равенства (2.2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала х₂ и х₁.

2°. Справедливы предельные соотношения: ; .

Доказательство. Пусть , – две монотонные числовые последовательности, причем , при . Событие А_п состоит в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий А_п: ; Тогда вероятность достоверного события будет равна вероятности объединения событий А_п: . А вероятность события А_п по теореме 2.1 равна разности значений функции распреления . Тогда так как , то , т.е. , поскольку вероятность достоверного события равна 1.

Принимая во внимание определение предела, получаем ; откуда следует, что ; .

3 °. Функция F(х) непрерывна слева в любой точке х, .

Доказательство. Пусть {х_п}— любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к х. Тогда событие можно представить в виде объединения несовместных событий:

На основании аксиомы 3 вероятность этого события равна сумме вероятностей

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к Р(Х <х), то остаток ряда, начиная с некоторого номера N, будет меньше , >0 (теорема об остатке сходящегося ряда):

.

Используя формулу (2.3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим неравенство или , а это означает, что .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения, является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям и . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1°, 2°, 3°, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Используя изложенные свойства, докажем некоторые важные теоремы.

Теорема 2.2. Вероятность того, что значения случайной величины больше некоторого действительного числа х вычисляется по формуле

.

Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий и : .

Тогда по аксиоме 3 Колмогорова

или откуда следует .

Будем говорить, что функция распределения F(х) имеет при х=х₀ скачок , если , где и – пределы справа и слева функции распределения F(х) в точке х=х₀.

Теорема 2.3. Для каждого х₀ из пространства случайной величины Х имеет место формула

Действительно, приняв в формуле (2.3) , и перейдя к пределу при , получим . Поскольку функция распределения непрерывна слева в любой точке (свойство 3°), то

.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина примет некоторое значение х_{0 ,} равна скачку ее функции распределения (, свойство 3 °.

Можно показать, что функция распределения F(х) может иметь не более чем счетное множество скачков.

Действительно, функция распределения может иметь не более одного скачка , скачков – не более трех, скачков – не более чем 2 ^п –1. Следовательно, можно пронумеровать все скачки, расположивих по величине, повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция F(х).

Иногда поведение случайной величины Х характеризуют не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получитьиз этого закона распределения функцию распределения F(х) случайной величины Х.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какую вероятность определяет функция распределения?

2. В каких пределах изменяется значение функции распределения?

3. Перечислите свойства функции распределения.

4. По какой формулевычислется вероятность того, что значения случайной величины принадлежат некоторому промежутку?

5. Как вычислить вероятность отдельного значения случайной величины ?

6. При каких значениях функция распределения равна нулю и единице?

7. Как вычислить вероятность того, что значения случайной величины больше некоторого числа ?