История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-09-28 | 560 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель: Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница
На выполнение работы отводится 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .
Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть . (15.1)
Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.
Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . (15.2). То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Примеры
Вычислить следующие определенные интегралы:
1) ; 2) ; 3) .
Решение: 1) ; 2) ;
3)
Задания для практической работы
Вычислите определенные интегралы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)
6) 7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ; 13) .
Контрольные вопросы:
1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?
2. Дайте определение определенного интеграла.
3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?
5. Сформулируйте теорему о среднем.
6. Перечислите основные методы интегрирования для определенного интеграла.
7. Запишите формулы, которые соответствуют вышеперечисленным методам интегрирования.
|
Рекомендуемая литература: 11.1 [с. 271-282], 1.2 [с. 205-212], 1.3 [с. 374-396], 2.2 [с. 247-250].
Практическая работа №16
Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов
Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.
Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис.2).
Рисунок 2 - Трапеция, ограниченная кривой , осью и двумя прямыми и , где .
Так как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .
основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .
Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис.3), то дифференциал переменной площади равен , откуда .
|
|
Рисунок 5 - Трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми
и , расположена по обе стороны от оси .
В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.4), площадь находится по формуле .
Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси (рис. 5), то .
Рисунок 6 - Трапеция, двумя пересекающимися кривыми
и , прямыми и .
Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 6) Тогда ее площадь находится по формуле .
Примеры
Задание: Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями , , и (рис. 7).
|
Рисунок 7 - Фигура, ограниченная указанными линиями
, , и .
Решение: квадратичная функция; ; график – парабола, ветви направлены вверх.
Найдемкоординаты вершины параболы:
, отсюда следует, что . Таким образом, вершина параболы имеет координаты: . Найдем площадь полученной фигуры:
.
Ответ:
Задания для практической работы
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , , и осью абсцисс.
2. Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми и .
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми , .
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .
6. Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми , , и .
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
8. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
10. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями и .
Контрольные вопросы:
1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?
2. По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?
3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?
4. По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?
5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?
Рекомендуемая литература: 1.1 [с. 271-281], 1.2 [с. 205-212], 1.3 [с.395-395], 2.2 [с. 247-250].
Практическая работа №17
Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных
Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Уравнение
(неявная форма) (17.1)
или
(явная форма) (17.2)
определяет переменную как функцию независимых переменных . Областью определения функции переменных является множество точек -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.
При уравнение (17.1) определяет функцию трех переменных
|
или , (17.3)
Областью определения, которой является множество точек трехмерного пространства .
При уравнение (17.1) определяет функцию двух переменных
или . (17.4)
Частным значением функции называется такое ее значение, которое соответствует системе значений . (17.5)
Примеры
Задание 1: Найти области определения функций:
1) ; 2) .
Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых , то есть . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность .
2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность .
Задание 2: Найти частное значение функции в точке .
Решение: Подставляя в выражение функции значения и , получим .
Задания для практической работы
1. На плоскости постройте область изменения переменных и , заданные нижеследующими неравенствами. Укажите тип области.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2. Найдите области определения функций и укажите, что будет являться областью определения:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
3. Вычислите частные значения функций:
1) при и ;
2) в точке ;
3) при и .
4. Дана функция . Вычислите , , , , , , .
Контрольные вопросы:
1. Что называется функцией нескольких переменных?
2. Что называется областью определения функции переменных?
3. Что называется частным значением функции двух переменных?
4. Что называется границей области?
5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?
Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 438-439], 2.1 [с. 192-204], 2.2 [с. 151-166].
Практическая работа №18
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!