Моделирование Систем управления

Д. О. Глухов, И. В. Петухов

Моделирование Систем управления

 

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей: 220400.62 «Управление и информатика в технических системах»

 

 

Йошкар-Ола

2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

Поволжский государственный технологический университет

 

 

Д. О. Глухов, И. В. Петухов

Моделирование Систем управления

 

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей: 220400.62 «Управление и информатика в технических системах»

 

 

Йошкар-Ола

УДК 681.51

ББК 32.965

Г55

Рецензенты:

доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой радиотехнических и медико-биологических систем

Поволжского государственного технологического университета

А. А. Роженцов

Печатается по решению редакционно-издательского совета ПГТУ.

Глухов Д. О

Г55 Моделирование систем управления: Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей: 220400.62 «Управление и информатика в технических системах» / Составители: Д.О. Глухов, И.В. Петухов. Под ред. Д.О. Глухов – Йошкар-Ола: ПГТУ, 2013.- 72 с.

 

Приведены методические материалы по подготовке к лабораторным занятиям, порядок выполнения лабораторных работ и контрольные вопросы для самопроверки полученных знаний.

 

УДК 681.51

ББК 32.965

©Поволжский государственный

технологический университет, 2013

Содержание

Предисловие

Правила техники безопасности при выполнении

6лабораторных работ на персональном компьютере…………………..3

Лабораторная работа №1.

Методы решения систем линейных уравнений…………………............4

Лабораторная работа №2.

Методы решения систем нелинейных уравнении…...…………….…..34

Лабораторная работа №3.

Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом прямоугольников………………………………………………………....44

Лабораторная работа №4.

Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом Симпсона и методом трапеций……………..................................................................................54

Лабораторная работа №5.

Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей…………………………………………….……………………62

Заключение................................................................................................69

Список литературы ……........………….……………..……..................70

 

Предисловие

 

Целью настоящих методических указаний является повышение уровня самостоятельной работы студентов при выполнении лабораторных работ по курсу «Моделирование систем».

Методические указания составлены в соответствии с программой курса «Моделирование систем». В них содержится информация по четырем лабораторным работам:

· Методы решения систем линейных уравнений

· Методы решения систем нелинейных уравнений.

· Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом прямоугольников.

· Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом Симпсона и методом трапеций

· Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей

В каждой лабораторной работе содержатся теоретическая часть, цель работы, порядок выполнения работы, отчетность, вопросы по зачетам и список литературы.

К выполнению лабораторных работ студенты могут приступить только после изучения соответствующего раздела курса, используя настоящее пособие и техническую литературу, приведенную в конце методических указаний.

Разрешение на выполнение работ дает преподаватель, после того, как убедится в наличии у студентов знаний по выполнению и оформлению соответствующей работы.

В каждом отчете по лабораторной работе должны быть сделаны выводы по результатам работы.

Защита лабораторных работ производится индивидуально по теоретическому и практическому материалу. В случае несоответствия результатов расчетов с правильным решением студенты в ходе зачета должны дать соответствующие пояснения.

Настоящие методические указания помогут студентам подготовиться к лабораторным занятиям, повышать качество отчета и ее защиту.

 

Правила техники безопасности при выполнении

Лабораторная работа № 1

Методы решения систем линейных уравнений

 

Задание. 1) Решить систему по формулам Крамера.

2)Используя схему Гаусса, решить систему уравнений с точностью до 0,001.

 

Задание №1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Теоретическая часть.

Метод Крамера - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Описание метода

 

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

 

 

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов).

Обра́тная ма́трица - такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

 

Свойства обратной матрицы

, где обозначает определитель.

для любых двух обратимых матриц А и В

, где обозначает транспонированную матрицу

для любого коэффициента

 

Варианты заданий.

№1.

1)

2)

2(A+B)(2B-A),

 

где А= , В=

 

4) *X= .

 

№2.

1)

 

2)

 

3A-(A+2B)B,

 

где А= , В= .

 

4) X* = .

№3.

1)

 

2)

 

2(A-B)( +В),

 

где А= , В = .

 

4) * X = .

№4.

1)

 

2)

 

( - )(А+В),

 

где А = , В = .

 

4) X* = .

№5.

1)

 

2)

 

(A- )(2А+В),

 

где А = , В = .

 

4) = .

№6.

1)

 

2)

 

(A- )А+2В,

где А = , В = .

4) * = .

№7.

1)

 

2)

 

2(A-0,5 )АВ,

 

где А = , В = .

 

 

4) = .

 

№8.

1)

 

2)

 

(A- )А+3В,

где А = , В = .

 

 

4) * = .

 

№9.

1)

 

2)

 

2 A –( )В,

где А = , В = .

 

4) = .

№10.

1)

 

2)

 

3( )-2AВ,

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

 

№11.

1)

 

2)

 

(2 )(3A+B)-2AВ,

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

№12.

1)

 

2)

 

A( )-2(B+A)В,

 

где А = , В = .

 

= .

№13.

1)

 

2)

 

A+B) (2A+3B),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№14.

1)

 

2)

 

(2A+ )-B(A-В),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№15.

1)

 

2)

 

(A+ )(AB-2A),

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

№16.

1)

 

2)

 

A -(A+B)(A-B),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№17.

1)

 

2)

 

+3 (AB-2A),

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

№18.

1)

 

2)

 

(A+B)-2AB,

где А = , В = .

 

4) = .

№19.

1)

 

2)

 

2A-AB(B-A)+B,

где А = , В = .

 

4) = .

№20.

 

2)

 

)(A-3B),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№21.

1)

 

2)

 

B(A+2B)-3AB,

 

где А = , В = .

 

4) X * =

 

№22.

1)

 

 

2) 3(A+B)-(A-B)A,

 

где A = B = .

 

4) * X = .

№23.

1)

 

2)

 

3) A(A-B)+2B(A+B),

 

где A = B = .

 

4) X * =

 

№24.

1)

 

2)

 

3) (2A+B)B-0.5A,

 

где A = B = .

 

4) X * =

№25.

1)

 

2)

 

3) AB-2(A+B)A,

 

где A = B = .

 

4) * X =

№26.

1)

 

2)

 

3) (A+2B)(3A-B),

 

где A = B = .

 

4) X * =

№27.

1)

 

2)

 

3) 2AB+A(B-A),

 

где A = B = .

4) X * =

№28.

1)

 

2)

 

3) (3A+0.5B)(2B-A),

 

где A = B = .

 

4) * X =

№29.

1)

 

2)

 

3) 2A(A+B)-3AB,

 

где A = B = .

4) X * =

 

№30.

1)

 

2)

3) 3AB+(A-B)(A+2B),

где A= B= .

4) *X=

Образец выполнения задания №1

1)∆= = =

=-(105+16+56-98+10+96)=-185;

= = =

=-(-33+234-35+91-22+135)=-370;

= = =

=-(360-91-700+36-700+910)=185;

= = =

 

=-(75-44+728-70+130-264)=-555

 

= = =

 

=-(455-40+88-154+416-25)=-740;

 

= = =2; = = =-1;

 

= = =3; = = =4;

 

Ответ:

 

2) = ;

 

∆= =24-24-15-27+16+20=-6;

 

= ;

 

;

 

Ответ:

 

3 ) 3A+B= ;

2A-B= ;

(3A+B)*(2A-B)= .

 

1) Имеем AX=B, откуда X= B. Находим

 

∆=

 

 

 

 

= ;

 

=

= .

Задание №2.Используя метод Гаусса, решить систему уравнений с точностью до 0,001.

Теоретическая часть.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

 

Описание метода.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

, (1)

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных x_j1, …, x_jr.

Тогда переменные x_j1, …, x_jr называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число β_i≠0, где i>r, то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть β_i=0 для любых i>r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом где — номер строки):

,
где i=1, …, r, k=i+1, …, n.

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Варианты заданий

№1. .

 

№2.

 

№3.

 

№4.

 

№5.

 

№6.

 

№7.

 

№8.

 

№9.

 

№10.

№11.

 

№12.

 

№13.

 

№14.

 

№15.

 

№16.

 

№17.

 

№18.

 

№19.

 

№20.

 

№21.

 

№22.

 

№23.

 

№24.

 

№25.

 

№26.

 

№27.

 

 

№ 29.

 

№30.

 

Образец выполнения задания №2

 

 

Вычисления производим по схеме единственного деления представленного в таблице №1.

Таблица №1

Коэффициенты при неизвестных	Свободные члены	Контрольные суммы ∑	Строчные Суммы ∑’
0,68	0,05	-0,11	0,08	2,15	2,85	2,85
0,21	-0,13	0,27	-0,8	0,44	-0,01	-0,01
-0,11	-0,84	0,28	0,06	-0,83	-1,44	-1,44
-0,08	0,15	-0,5	-0,12	1,16	0,61	0,61
	0,0735	-0,0618	0,1176	3,1618	4,1912	4,1912
	-0,1454	0,30398	-0,8242	-0,22398	-0,89015	-0,8901
	-0,8319	0,2622	0,0729	-0,4822	-0,97897	-0,97896
	0,1559	-0,5129	-0,1106	1,4129	0,9453	0,9453
		-2,0906	5,6719	1,5404	6,1221	6,1217
		-1,47697	4,79139	0,7992	4,1140	4,1136
		-0,18697	-0,9948	1,1723	-0,00913	-0,0095
			-3,2441	-0,5411	-2,7854	-2,7851
			-1,6013	1,0711	-0,5299	-0,5302
				-0,6689	0,3309	0,3311
2,8264	-0,3337	-2,7110	-0,6689
3,8263	0,6664	-1,7119	0,3309

 

Ответ:

Контрольные вопросы

 

1). Привести общий вид системы линейных алгебраических уравнений.

2). Дать определение обратной матрицей.

3).Перечислить свойства обратной матрицы.

4). Описать метод Крамера.

5). Дать определение ранга матрицы.

6). Объяснить соотношение между числом неизвестных решений и рангом системы.

 

Лабораторная работа № 2

Задание №1Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.

Теоретическая часть.

Метод итераций э то способ численного решения математических задач. Его суть – нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному значению) искомой величины следующего, более точного приближения. Применяется в случае, когда последовательность приближений по указанному алгоритму сходится.

Данный метод называют также методом последовательных приближений, методом повторных подстановок, методом простых итераций и т.п.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Обоснование

Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где - сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:

С учётом этого функция определяется выражением:

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение[1], и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

.

 

Варианты заданий

№1. 1) 2)

№2. 1) 2)

№3. 1) 2)

№4. 1) 2)

№5. 1) 2)

№6. 1) 2)

№7. 1) 2)

№8. 1) 2)

№9. 1) 2)

№10.1) 2)

№11.1) 2)

№12.1) 2)

№13.1) 2)

№14.1) 2)

№15.1) 2)

№16.1) 2)

№17.1) 2)

№18.1) 2)

№19.1) 2)

№20.1) 2)

№21. 1) 2)

№22. 1) 2)

№23. 1) 2)

№24. 1) 2)

№25. 1) 2)

№26. 1)