Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма

По определению В.А. Котельникова потенциальной помехоустойчивостью называется максимум вероятности правильного решения, достижимый при заданных условиях приема сигналов на фоне помех (шумов) [13].

Определим потенциальную помехоустойчивость приёма двух сигналов, s ₀(t) и s ₁(t) известной формы на фоне белого гауссовского шума при равных априорных вероятностях сигналов.

Алгоритм принятия решения в приемнике, реализующем критерий максимума правдоподобия, кратко запишем в виде

Это выражение можно привести к виду

Ошибки при приеме состоят в том, что при передаче первого сигнала принимается решение о приеме второго и наоборот, поскольку гауссово распределение симметрично и априорные вероятности равны.

Найдем условную вероятность ошибки, т.е. вероятность события, заключающегося в принятии решения о наличии сигнала s ₀(t) при условии, что в наблюдаемом колебании присутствует сигнал s ₁(t). Это событие соответствует выполнению неравенства

,

которое можно переписать в виде

.

Проведя очевидные преобразования, получим

. (17.16)

Левая часть неравенства представляет собой случайную величину (т.к. это интеграл по времени от случайного процесса ξ (t) с весом, равным разности сигналов s _Δ(t) = [ s ₁(t) - s ₀(t)]), имеющую нормальное распределение (поскольку процесс ξ (t) гауссов) с нулевым средним; обозначим ее v, её дисперсия (средний квадрат), равна:

. (17.17)

Вероятность выполнения неравенства (17.16) – это вероятность того, что нормальная случайная величина с нулевым средним и дисперсией N ₀ E _Δ/2 принимает значение меньше, чем E _Δ/2. Эта вероятность равна

,

где – центрированная нормальная случайная величина с единичной дисперсией, а – положительное число.

Очевидно, p ₁₀ зависит только от , поэтому можно ввести функцию

,

где – интеграл вероятности, и записать .

(Напомним, что в силу симметрии гауссовского распределения p ₁₀ = p ₀₁).

Таким образом, условная вероятность ошибки, равная средней вероятности ошибки при когерентном приеме сигналов на фоне белого шума, определяется энергией разностного сигнала s _Δ(t) и спектральной плотностью мощности шума N ₀.

Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость двоичного когерентного приемника максимального правдоподобия для различных способов модуляции, считая, что энергия сигнала E фиксирована.

Представляет практический интерес сравнительная оценка потенциальной помехоустойчивости сигналов дискретной модуляции: амплитудной (ДАМ), частотной (ДЧМ), фазовой (ДФМ).

При ДАМ символу «1» соответствует сигнал S ₁(t), а символу «0» соответствует сигнал S ₂(t) = 0 («пассивная пауза»), следовательно норма разностного сигнала равна

.

При ДЧМ и ДФМ символам «1» и «0» соответствуют сигналы S ₁(t) и S ₂(t), энергия которых одинакова. При этом для нормы разностного сигнала имеем

;

, где b ₁₂ – нормированный коэффициент корреляции (-1 ≤ b ₁₂ ≤ 1).

В частности, для ортогональных сигналов ДЧМ

b ₁₂ = 0, ,

а для противоположных сигналов ДФМ

b ₁₂ = -1, .

Сигналы с b ₁₂ = 1 являются одинаковыми, т.е., и их невозможно различить. Для них Р _ош = 0,5, что эквивалентно обрыву канала связи.

Т.о. энергия разностного сигнала для ДЧМ в 2 раза, а для ДФМ – в 4 раза больше по сравнению с ДАМ. Соответственно возрастает и помехоустойчивость.

Заметим, что если используются три сигнала одинаковой энергии, то для достижения максимальной помехоустойчивости они должны иметь взаимный фазовый сдвиг 120⁰, т.е. соответствующие сигналам точки должны располагаться на окружности радиуса E ^1/2 в вершинах равностороннего треугольника (рис. 17.7. г). Если сигналов четыре, то оптимальным является их размещение в вершинах правильного тетраэдра, вписанного в сферу радиуса E ^1/2.

В общем случае оптимальный выбор системы из n сигналов соответствует их расположению в вершинах правильного (n - 1) – мерного симплекса, вписанного в (n - 1) – мерную сферу (отрезок, треугольник и тетраэдр являются одномерным, двумерным и трехмерным симплексами).

 

 

Рис. 17.7. К помехоустойчивости приема двух и трёх сигналов