Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)

Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблюдения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствия сигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)

Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигнала присутствует гауссовский шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности N ₀/2, постоянной в некоторой полосе частот - F < f < F («квазибелый» шум).

Полагая, что длительность интервала наблюдения равна T, возьмем n отсчетов наблюдаемого колебания с шагом Δ t = 1/2 F = T / n, при этом отсчеты шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида "sin x / x ") пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных Δ t. Поэтому совместная плотность распределения вероятностей взятых отсчетов (выборочных значений) в отсутствие сигнала равна:

,

где σ² = N ₀ / F = N ₀ / 2Δ t.

Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения s_k = s (t_k), то совместная плотность распределения вероятностей выборочных значений

.

Отношение правдоподобия

.

Подставляя в это выражение 2σ² = N ₀ / Δ t, получим

. (17.6)

Устремляя Δ t к нулю (n→∞), запишем логарифм отношения правдоподобия:

. (17.7)

Поскольку логарифм является монотонной функцией, правило обнаружения сигнала известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное по критерию максимума правдоподобия, основано на сравнении с нулевым порогом величины

, (17.8)

где – энергия сигнала.

Первое слагаемое в выражении (17.8) называется корреляционным интегралом, так как совпадает по форме с выражением взаимно корреляционной функции сигнала и наблюдаемого процесса при нулевом сдвиге. Энергия сигнала известна, и при обнаружении можно сравнивать значение корреляционного интеграла (случайное в силу случайности реализации z (t)) с порогом, равным E /2.

Правило различения M сигналов известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное по критерию максимума правдоподобия, основано на сравнении между собой величин , i = 1,… M.

Решение принимается в пользу того сигнала, для которого эта величина максимальна.

Структура оптимального приемника для различения M сигналов показана на рисунке 17.3.

Устройство выбора максимума УВМ выдает на выход номер k канала, в котором величина (17.8) максимальна.

 

 

Рис. 17.3. Структура приемника максимального правдоподобия

Пример. В проводных системах связи с амплитудной телеграфией могут применяться посылки в форме прямоугольного видеоимпульса. Предположим, что сигнал, соответствующий символу «1», представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой a и длительностью T. Тогда корреляционный интеграл имеет вид

,

порог равен Е /2 = а ² Т /2, тогда решающее правило имеет вид

.

Структурная схема приемника показана на рисунке 17.4. Постоянная времени интегрирующей цепи должна быть много больше длительности посылки T. В этом случае начальный участок экспоненты a (1- e^{-t /( RC )}), отображающей заряд емкости, можно аппроксимировать прямой линией с тангенсом угла наклона a /(RC), равным производной экспоненты в нуле. Тогда за время T напряжение на входе решающего устройства, обусловленное сигналом, составит aT /(RC), а значение порога должно быть равно aT /(2 RC).

 

 

Рис. 17.4. Структурная схема приемника прямоугольного видеоимпульса

 

Пример. Предположим, что в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией сигнал, соответствующий символу «1», представляет собой прямоугольный радиоимпульс с амплитудой a и длительностью T. Тогда s (t) = cos(ω ₀ t + φ), корреляционный интеграл имеет вид

,

а порог равен Е /2 = а ² Т /4. Сокращая на a и применяя реальный интегратор в виде RC -цепи, получаем структуру приемника, показанную на рисунке 17.5.

 

Рис. 17.5. Структурная схема приемника прямоугольного радиоимпульса

 

Пример. В двоичной системе связи с фазовой телеграфией сигналы s ₁(t) и s ₂(t), соответствующие символам «1» и «0», являются противоположными

s ₁(t) = cos(ω ₀ t + φ); s ₂(t) = cos(ω ₀ t + φ + π) = - s ₁(t)

Принятие решения основано на сравнении величин

.

C учётом равенства энергий правило принятия решения упрощается и принимает вид

.

 

Согласованная фильтрация

По существу корреляционный приемник является активным фильтром и выполняет операцию скалярного произведения

. (17.9)

Эту операцию можно реализовать также с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал, то напряжение на выходе фильтра

, (17.10)

где g (t) – импульсная реакция фильтра, является зеркальным отображением s (t) относительно t = T.

Выберем g (t) такой, чтобы в момент t = T получить на выходе значение y (T), совпадающее со скалярным произведением (17.9).

Легко видеть, что это будет выполнено, если g (t) = s_i (T - t). Действительно, при этом

. (17.11)

Такой фильтр называют согласованным (СФ) с сигналом s_i (t). Иначе говоря, фильтр является согласованным с сигналом s (t), если его импульсная реакция

g (t) = a·s (T - t), (17.12)

где а – постоянная.

Передаточная функция СФ с импульсной реакцией (17.12) определяется преобразованием Фурье

, (17.13)

где – функция комплексного сопряженная со спектральной плотностью сигнала s (t).

Следовательно, с точностью до коэффициента a АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s (t). Смысл согласования проявляется в том, что СФ хорошо пропускает те частоты, которые дают большой вклад в энергию сигнала. ФЧХ СФ (без учета слагаемого - ωT) обратна по знаку ФЧХ сигнала s (t). Благодаря этому при t = T все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.

Отметим одно важное свойство СФ, которое иногда рассматривается как его определение. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент t = T отношение пиковой мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Оказывается, что это отношение максимально для СФ и равно

, (17.14)

где E_s – энергия сигнала;

N ₀ – спектральная плотность белого шума.

Иначе говоря, СФ является единственным линейным фильтром, обеспечивающим получение максимально возможного отношения сигнала к помехе на выходе.

Интересно сравнить h ₂²_max с отношением средних мощностей сигнала Р_s и помехи P_x на входе фильтра h ₁²:

Откуда

, (17.15)

где n = 2 F_ST – база сигнала.

Таким образом,улучшение отношения сигнала к помехе, даваемое СФ, тем больше, чем больше база сигнала n, т.е. чем сложнее форма сигнала.

Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы может быть реализован (приближенно) на основе линии задержки с отводами (рис. 17.6).

При подаче на вход 1 линии задержки с отводами (ЛЗО) короткого импульса, на вход ФНЧ поступают (с интервалом Δ t, обусловленным конструкцией линии задержки) такие же импульсы с амплитудами, определяемыми коэффициентами усиления a ₀, a ₁, a ₂,… a_{n -1}. Тогда на выходе ФНЧ формируется, в частности если ФНЧ является идеальным, отклик представляющий собой конечную сумму ряда Котельникова аппроксимирующую сигнал s (t) требуемого вида.

 

 

Рис. 17.6. Согласованный фильтр на основе линии задержки с отводами

 

Нетрудно видеть, что если короткий импульс подать на вход 2, то отклик будет зеркальной копией сигнала s [(n -1) Δ t - t ]. Коэффициенты a ₀, a ₁, a ₂,… a_{n -1} представляют собой отсчеты сигнала s (t) с шагом, определяемым верхней частотой F _в спектра сигнала.

Следует иметь в виду, что такой способ реализации согласованного фильтра является хотя и универсальным, но заведомо приближенным, так как любой сигнал конечной длительности имеет нефинитную спектральную плотность, а идеальный ФНЧ нереализуем. Тем не менее такой фильтр применяется на практике: например, для согласованной фильтрации сигналов с линейной частотной модуляцией используют в качестве линий задержки с отводами интегральные устройства на поверхностных акустических волнах (ПАВ).

Форма сигнала на выходе такого фильтра отличается от формы входного сигнала. Но назначение согласованного фильтра состоит в вычислении корреляционного интеграла для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника. Иными словами, согласованный фильтр должен обеспечивать максимальное отношение сигнал/шум в момент времени t ₀.