Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-09-30 | 586 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В этой задаче граничные условия формулируются следующим образом
(69)
Единственность решения будем доказывать от противного. Предположим, что задача имеет два решения u 1 и u 2. Тогда разность решений будет представлять собой гармоническую функцию в области D, обращающуюся в нуль на её границе. Для ограниченной области можно непосредственно применить теорему о максимуме и минимуме. Согласно этой теореме внутри области D гармоническая функция w не может иметь значений больше или меньше своего граничного значения, равного нулю. Поэтому она равна нулю и всюду внутри области. Таким образом, функции u 1 и u 2 во всей области D совпадают.
Докажем теперь непрерывную зависимость решения рассматриваемой задачи от граничного условия. Пусть u 1 и u 2 – решения двух задач Дирихле для одной и той же области, граничные условия которых различаются не более, чем на величину ε. При этом функция гармонична, а в точках, принадлежащих границе области, отличается от нуля не более чем на ε. Если область ограничена, то в силу теоремы о максимуме и минимуме функция не может отличаться от нуля больше, чем на ε и в любой точке внутри области. Следовательно, во всей области , из чего и вытекает требуемое утверждение.
Теорема единственности для задачи Неймана. В этой задаче граничное условие формулируется следующим образом
(70)
Докажем сначала, что решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной.
Для упрощения доказательства проведем его при дополнительном предположении, что функция u имеет непрерывные первые производные во всей области, включая границу S 1).
Пусть u 1 и u 2 – две непрерывно дифференцируемые во всей области, включая границу, являющиеся решениями внутренней задачи Неймана. Тогда для разности этих функций будем иметь нулевое граничное условие
|
(71)
Полагая в первой формуле Грина (57) и учитывая (61), получаем
Откуда в силу дополнительногопредположения о её первых производных следует, что
, т.е. ,
Т.е. разность двух решений внутренней задачи Дирихле равна константе, что и требовалось доказать.
Изолированные особые точки
В этом параграфе мы уделим внимание особым точкам гармонических функций. При этом следует рассмотреть два случая. В первом случае гармоническая функция ограничена в окрестности особой точки, во втором – не ограничена. Ко второму случаю относится знакомая нам точка – для плоскости и – для трехмерного пространства.
Докажем теорему, согласно которой первый случай не может иметь место.
Т е о р е м а. Если гармоничная функция u(M) является ограниченной внутри области S, за исключением точки Р, то можно определить значение функции и в точке Р так, чтобы u(M) была гармонична всюду внутри области S.
Мы докажем эту теорему для плоского случая. Возьмем круг Кε радиуса ε с центром в точке Р, целиком лежащий в внутри области S, и рассмотрим внутри этого круга гармоническую функцию v, совпадающую на его границе (окружности Сε) с функцией и. После этого составим разность , которая
1) гармонична всюду внутри Кε, кроме точки Р, в которой w не определена,
2) непрерывно примыкает к нулевым граничным условиям на Сε,
3) ограничена в замкнутой области , так, что .
1) Доказательство единственности при более общих предположениях было дано М.В.Келдышем и М.А.Лаврентьевым (ДАН СССР, т. IV, 1937); см. также В.И.Смирнов [ ].
Построим неотрицательную гармоническую функцию следующим образом
где ε – произвольное положительное число, а r – расстояние от рассматриваемой точки до точки разрыва Р.
Теперь построим круг К δ с центром в точке Р, выбрав его радиус δ так, чтобы на его границе значение U превосходило А, и рассмотрим область Кε – Кδ. Обратимся к функции w. Она непрерывна в замкнутой области и на границе этой области выполняется неравенство . В силу принципа максимального значения неотрицательная функция U является мажорантой функции w
|
для
Фиксируя далее точку М области Кε, не совпадающую с точкой Р, и осуществляя предельный переход при , получим
Следовательно, всюду, за исключением, может быть, точки Р, .
Таким образом, функция и всюду в области S, за исключением точки Р, совпадает с функцией v. Полагая теперь , мы получим функцию и, тождественно равную функции w, гармоничную всюду внутри области S, что и доказывает теорему.
Аналогично проводится доказательство этой теоремы и для трехмерного случая с тем отличием. Что в качестве мажорантной функции будет выступать функция
При доказательстве этой теоремы мы предполагали, что функция и ограничена в окрестности точки Р. Однако те же рассуждения остаются в силе, если предположить, что функция и в окрестности точки Р удовлетворяет неравенству
, (72)
где α (r) – произвольная функция, стремящаяся к нулю при . Иначе говоря, функция и в окрестности точки Р растет медленнее, чем log(1/r P M).
Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.
Если функция и (М) является гармонической функцией внутри области S, за исключением точки Р, в окрестности которой она растет медленнее, чем log(1/r PM) при М→Р, то эта функция является ограниченной в окрестности точки Р, и можно так определить значение u (Р), что функция и будет гармонической во всей области S.
Аналогично, для случая трех переменных, можно доказать сформулированное утверждение следующим образом.
Если гармоническая функция и(М) в окрестности изолированной особой точки Р растет медленнее, чем 1/r, т.е.
при ε (r)→0, r→0, (73)
то она гармонична в окрестности этой точки, и можно так определить значение u(Р),
чтобы функция и (М) была гармонична и в самой точке Р.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!