Расчет толстостенных однослойных и двухслойных оболочек

Роль толстостенных оболочек в авиационной технике весьма велика. Они используются в качестве резервуаров для хранения жидких и газообразных веществ под высоким давлением, применяемых в конструкциях пневматических и гидравлических бортовых систем летательного аппаратов и некоторых других системах специального бортового оборудования. Давления, под которыми работают такие оболочки (баллоны), достигают в некоторых случаях 50000 и даже 100000 КПа. Поэтому в некоторых устройствах приходится для увеличения прочности баллона или трубы утолщать их стенки, что приводит к неравномерному распределению напряжений в их поперечных сечениях.

В этой задаче рассматривается вопрос о прочности толстостенных цилиндров, нагруженных внутренним равномерно распределенным давлением, открытых или закрытых по торцам днищами.

Таким образом, нагрузкой является газовое или гидравлическое давление.

Рассматриваемая задача является осесимметричной, поэтому любая плоскость, проходящая через ось цилиндра, делит ее на симметричные части. Следовательно, в этой плоскости касательное напряжение, как несимметричный силовой фактор, равняется нулю и эта площадка определяет одну из главных площадок в выбранной точке цилиндра.

Так как нагрузка вдоль цилиндра принята постоянной, а влияние днищ на распределение напряжений в стенках не учитывается, то каждое поперечное сечение также можно рассматривать как плоскость симметрии. Поэтому в произвольной точке цилиндра площадка, принадлежащая поперечному сечению, также является главной.

Зная в произвольной точке две главные площадки, легко установить третью главную площадку, которая должна быть перпендикулярна к первым двум. Следовательно, эта площадка принадлежит плоскости, касательной к цилиндрическому сечению.

Главное напряжение, действующее ортогонально к плоскости, содержащей ось симметрии цилиндра, называют кольцевым (рис.1.5). Главное напряжение, действующее ортогонально поперечному сечению, называют продольным . Главное напряжение, действующее ортогонально плоскости, касательной к цилиндрическому сечению, называют радиальным .

 

Рис. 1.5

Вследствие осесимметричности задачи и постоянства нагрузки вдоль оси единственной переменной, определяющей напряженное состояние в некоторой точке, является расстояние этой точки от оси цилиндра.

Напряженно-деформированное состояние толстостенного цилиндра, закрытого по концам днищами, определяется следующим образом:

(1.14)

где и - внешний и внутренний радиусы поперечного сечения цилиндра, - интенсивность внутреннего давления.

В случае цилиндра без днищ, формулы для напряжений и остаются неизменными, а напряжение равно нулю.

Задача определения напряженно-деформированного состояния в толстостенном цилиндре носит название задачи Ламе, по имени ученого XIX века, давшего ее решение.

Данная задача состоит из двух частей.

Первая часть задачи включает проектировочный расчет, т.е. определение толщины стенки цилиндра. С этой целью, используя (1.14) и условие прочности, следует составить выражение для эквивалентного напряжения и приравнять его допускаемому напряжению. Из этого условия необходимо определить внешний радиус цилиндра .

Вторая часть задачи предусматривает расчет на прочность двухслойного цилиндра. Конструкция такого цилиндра состоит из двух отдельных цилиндров, которые надеваются один на другой. При этом наружный диаметр внутреннего цилиндра берется немного большим, чем внутренний диаметр наружного цилиндра, так что свободно надеть один цилиндр на другой нельзя. Наружный цилиндр нагревают. Он расширяется и тогда становится возможным вставить в него цилиндр меньшего диаметра. При остывании размеры наружного цилиндра будут уменьшаться, и на поверхности соприкасания цилиндров появится контактное давление , сжимающее внутренний цилиндр. После того, как оба цилиндра остынут и температура их станет одинаковой, в них будут действовать начальные напряжения.

Внутренний цилиндр будет испытывать по сжатие, наружный – растяжение. При нагружении составного цилиндра изнутри давлением газа или жидкости во внутреннем цилиндре сначала уничтожится сжатие и потом начнет нарастать растяжение.

В наружном цилиндре с самого начала будет происходить растяжение, которое будет добавляться к уже имеющемуся начальному напряжению. Напряжение в нем будут поэтому выше, чем в соответствующем слое сплошного цилиндра.

Таким образом, в составном цилиндре напряжения распределены более равномерно по толщине стенки, и последняя получается тоньше, чем в сплошном цилиндре. Составные цилиндры поэтому менее металлоемки, чем сплошные, хотя изготовление их труднее и дороже, и, при прочих равных условиях, выбор того или иного типа определяется экономическими и производственными соображениями.

Важнейшее преимущество составных цилиндров заключается в возможности использовать их при давлениях, при которых применение цилиндров со сплошной стенкой при данном материале было бы вообще невозможно, т.к. в двухслойном цилиндре эксплуатационные напряжения по сравнению с моноблоком снижаются. Степень снижения определяется диаметрами составляющих цилиндров, величиной натяга и упругими свойствами материала цилиндра.

Очевидно, все рассуждения относительно двухслойного цилиндра целиком применимы к многослойным.

Итак, в данном случае в отличие от однослойного цилиндра имеются две (а не одна) опасные точки на внутренней поверхности каждого из слоев.

Лучшим вариантом подбора сечения следует считать такой, при котором в каждой из опасных точек выполнялось условие прочности

. (1.15)

 

При этом, вместе с обеспечением прочности наиболее полно используется материал.

Для определения радиусов слоев , и величины натяга используются следующие формулы, предложенные проф. С.С. Крюковским (рис.1.6)

 

(1.16)

 

 

Рис.1.6

Таким образом, зная внутреннее давление и радиус по формулам (1.16) можно определить и .

Соответствующая величина натяга равна

, (1.17)

а потребная минимальная температура для горячей посадки определяется выражением

, (1.18)

где - коэффициент линейного расширения металла.

Определение контактного давления , возникающего в пограничном слое вследствие посадки с натягом, представляет собой статически неопределимую задачу.

Наружный диаметр при остывании сокращается, внутренний цилиндр препятствуя этому сокращению, является как бы “лишней” связью для наружного цилиндра. Удаляя “лишнюю” связь и заменяя ее действие реактивным давлением , можно получить эквивалентное состояние для наружного цилиндра (рис. 1.7.а).

На рис. 1.7.б показан отдельно внутренний цилиндр в условиях, также эквивалентных действительным.

а) б)

Рис. 1.7

Условием для составления уравнения совместности перемещений является равенство перемещений точек А и В (рис.1.7).

. (1.19)

Перемещения и отсчитываем с того момента, когда наружный цилиндр, охлаждаясь, своим внутренним диаметром касается внешнего диаметра внутреннего цилиндра.

Перемещение вызвано двумя процессами:

а) продолжающимся остыванием цилиндра,

б) действием давления , т.е.

. (1.20)

Перемещение вызвано только действием давления , т.е.

. (1.21)

Подставляя выражения (1.20) и (1.21) в уравнение (1.19), получим

. (1.22)

Перемещение , т.е. равно величине натяга со знаком минус (примем перемещение точки А к оси цилиндра за отрицательное).

Перемещение определим, используя зависимость

(1.23)

Т.к. деформация выражается через напряжения и

, (1.24)

то составим выражение для напряжений и , действующих в точке А, т.е. у внутренней поверхности наружного цилиндра при нагружении его внутренним давлением (рис.1.7а). Для этого используем формулы (1.24), заменяя в них на , на , на , полагая в них , тогда

(1.25)

Подставляя значения и из (1.25) в (1.24), (1.23) можно получить значение и в точке А:

(1.26)

 

Определим перемещение . Это перемещение представляет собой радиальное перемещение точки В, т.е. точки наружной поверхности внутреннего цилиндра, подверженного внешнему давлению (рис.1.7б).

Используя формулы для цилиндра, подверженного внешнему давлению, аналогичные (1.14), и проводя аналогичные выкладки, получим

. (1.27)

Подставляя выражения (1.26), (1.27) и в уравнение (1.22), получим численное значение контактного давления .

Далее следует построить эпюры напряжений и :

- в цилиндре, равном по толщине составному цилиндру, под действием рабочего давления ,

- во внутреннем цилиндре при действии сжимающего контактного давления (см. [3,4]),

- в наружном цилиндре под действии растягивающего контактного давления ,

- эпюры суммарных напряжений для составного цилиндра (от давлений и ).

В результате проведенных расчетов следует показать, что в двухслойном цилиндре имеются две опасные точки (это внутренние точки каждого из слоев), в которых необходимо проверить условие прочности.

В этих точках должно быть

. (1.28)