Инженерно-Вычислительные технологии

ИНЖЕНЕРНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Лабораторная работа № 3.

Решение типовых задач алгебры и анализа

Создание процедур (файлов-функций) в среде MatLAB

Цель работы:

Создание простейших подпрограмм (файл-функций)

3.2.1. Общие требования к структуре файл-функций.

 

Файл-функция (процедура-функция) должна начинаться со строки заголовка

function [< ПКВ >] = < имя процедуры >(< ПВВ >).

Если перечень конечных (выходных) величин (ПКВ) содержит только один объект (в общем случае - матрицу), то файл-функция представляет собой обычную функцию (одной или нескольких переменных). Фактически даже в этом простейшем случае файл-функция является уже процедурой в обычном смысле других языков программирования, если выходная величина является вектором или матрицей. Первая строка в этом случае имеет вид:

function <имя переменной> = <имя процедуры>(<ПВВ>).

Если же в результате выполнения файл-функции должны быть определены (вычислены) несколько объектов (матриц), такая файл-функция представляет собой уже более сложный объект, который в программировании обычно называется процедурой (в языке Паскаль), или подпрограммой. Общий вид первой строки в этом случае становится таким:

function [ y1, y2,..., yn ] = <имя процедуры>(<ПВВ>),

т. е. перечень выходных величин y1, y2,..., y должен быть представлен как вектор-строка с элементами y1, y2,..., y (все они могут быть матрицами).

В простейшем случае заголовок функции одной переменной приобретёт вид:

function y = func(x)

где func - имя функции (m-файла).

Пример 3.1 Рассмотрим составление m-файла для вычисления функции

Для открытия редактора m-файла следует активизировать меню < File> < New> < M-File > командного окна MatLAB. На экране появится окно текстового редактора. В нем нужно набрать текст:

function [y] = Fun331(x,d)

%Процедура, которая вычисляет значение функции

% y = (d3)*ctg(x)*sqrt(sin(x)4-cos(x)4).

% Обращение y = F1(x,d).

y = (d^3).*cot(x).*sqrt(sin(x).^4-cos(x).^4);

 

После этого необходимо сохранить этот текст в файле под именем (допустим) F331.m в вашем активном каталоге. Необходимый m-файл создан. Теперь можно пользоваться этой функцией при расчётах. Так, если ввести команду в окне Command Window

» y = Fun331(1, 0.1)

то получим результат

y =

4. 1421e-04.

Следует заметить, что аналогично можно получить сразу вектор всех значений указанной функции при разных значениях аргумента Так, если сформировать вектор zet

 

» zet= 0:0.3:1.8;

и обратиться в ту же процедуру

» my = F331(zet,1)

то получим:

my =

Columns 1 through 6

0 + Infi 0 + 2.9369i 0 + 0.8799i 0.3783 0.3339 0.0706

Column 7

-0.2209

 

Примечания.

1. Возможность использования сформированной процедуры как для отдельных чисел, так и для векторов и матриц обусловлена применением в записи соответствующего M-файла вместо обычных знаков арифметических действий их аналогов с предшествующей точкой (.*./.^)

2. Во избежание вывода на экран нежелательных промежуточных результатов, необходимо в тексте процедуры все вычислительные операторы завершать символом "; ".

3. Как показывают приведённые примеры, имена переменных, указанные в заголовке файл-функции могут быть любыми, т. е. носят формальный характер. Важно, чтобы структура обращения полностью соответствовала структуре заголовка в записи текста M-файла и чтобы переменные в этом обращении имели тот же тип и размер, как и в заголовке M-файла.

Чтобы получить информацию о созданной процедуре, достаточно набрать в командном окне команду:

 

» help F331,

и в командном окне появится

Процедура, которая вычисляет значение функции

y = (d3)*ctg(x)*sqrt(sin(x)4-cos(x)4).

Обращение y = F1(x,d)

Пример 3.2 Другой пример. Построим график двух функций:

y1 = 200 sin(x)/x; y2 = x2.

Для этого создадим m-файл, который вычисляет значения этих функций:

function [y] = Fun332(x)

%Вычисление двух функций

% y(1) = 200 sin(x)/x и y(2) = x2.

y(:,1) = 200*sin(x)./x;

y(:,2) = x*2;

End

Теперь построим графики этих функций в окне Command Window

>> fplot('Fun332', [-20 20], 50, 2), grid

>> set(gcf,'color','white'); title('График функций "y(1) = 200 sin(x)/x и y(2) = x2"')

Результат изображён на рис. 2.1.

Рис. 3.1.График функций y1 = 200 sin(x)/x; y2 = x2.

Пример 3.3 Cоздание файл-функции, вычисляющей значения функции

y(t) = k1+k2·t+k3·sin(k4·t+k5)

В этом случае удобно объединить совокупность коэффициентов k в единый вектор К:

К = [k1 k2 k3 k4 k5] и создать такой M-файл:

function [y] = Fun333(x,K)

%Вычисление функции

% y = K(1)+K(2)*x+K(3)*sin(K(4)*x+K(5)),

% где К - вектор из пяти элементов

% Используется для определения текущих значений

% параметров движения объекта

y = K(1)+K(2)*x+K(3)*sin(K(4)*x+K(5));

End

 

Тогда расчёт, например, 11-ти значений этой функции можно осуществить так

» K = ones(1,5);

» t = 0:1:10;

» fi = Fun333(t, K)

fi =

1. 8415 2. 9093 3. 1411 3. 2432 4. 0411 5. 7206 7. 6570 8. 9894 9. 4560 10. 0000

 

3.2.2. Типовое оформление файла-функции

Рекомендуется оформлять m-файл процедуры-функции по такой схеме:

 

function [<Выходные парам.>] = <имя функции>(<Входные парам.>)

% <Краткое пояснение назначения процедуры>

% Входные переменные

%<Детальное пояснение о назначении, типе и размерах

% каждой из переменных, перечисленных в перечне <Входные парам.>

% Выходные переменные

% <Детальное пояснение о назначении, типе и размерах

% каждой из переменных перечня <Выходные парам.>

% и величин, используемых в процедуре как глобальные>

% Использование других функций и процедур

% <Раздел заполняется, если процедура содержит обращение

% к другим процедурам, кроме встроенных процедур MatLab>

< П у с т а я с т р о к а >

% Автор: < Указывается автор процедуры, дата создания конечного варианта

% процедуры и организация, в которой созданная программа>

< Т е к с т и с п о л н я е м о й ч а с т и п р о ц е д у р ы >

 

Перечень входных и выходных переменных, разделяется запятыми.

Примечание. При использовании команды help <имя процедуры> в командное окно выводятся строки комментария до первой пустой строки.

 

 

3.2.3 Функции функций

 

Некоторые важные универсальные процедуры в MatLAB используют в качестве переменного параметра имя функции, с которой они оперируют, и поэтому требуют при обращении к ним указания имени M-файла, в котором записан текст некоторой другой процедуры (функции). Такие процедуры называют функциями функций.

Чтобы воспользоваться такой функцией от функции, необходимо, чтобы пользователь предварительно создал M-файл, в котором вычислялось бы значение нужной функции по известному значению её аргумента.

Перечислим некоторые из стандартных функций от функций, предусмотренных в MatLAB.

 

Вычисление определённых интегралов

Для вычисления интегралов методом трапеций в системе MATLAB предусмотрена функция trapz:

Integ = trapz (х,у);

Одномерный массив х (вектор) содержит дискретные значения аргументов подынтегральной функции. Значения подынтегральной функции в этих точках сосредоточены в одномерном массиве у. Чаще всего для интегрирования выбирают равномерную сетку, то есть значения элементов массива х отстоят друг от друга на одну и ту же величину (шаг интегрирования). Точность вычисления интеграла зависит от величины шага интегрирования: чем меньше этот шаг, тем больше точность.

Вычислим простой интеграл методом трапеций с шагом интегрирования π/10.

>> x = 0:pi/10:pi;

>> y=cos(x);

>> J1 = trapz(x,y)

J1 =

1.387778780781446e-16

 

Обычно для достижения высокой точности требуется выполнять интегрирование с очень малыми шагами, а контроль достигнутой точности осуществлять путём сравнения последовательных результатов. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов.

В системе MatLab методы интегрирования более высоких порядков точности реализуются функцией: quad (метод квадратур)

Как и многие другие функции системы MATLAB, функция quad может принимать различное количество параметров. Полный формат вызова этой функции

 

Q = quad(‘Fun’,a,b,Tol,Trace)

альтернативный вариант вызова

Q = quad(@Fun,a,b,Tol,Trace)

включает в себя три параметра: ‘Fun’ (@Fun) - имя подынтегральной функции; a - нижний предел интегрирования; b - верхний предел интегрирования; Tol – требуемая точность вычислений и Trace – графическое сопровождение процесса вычисления. По умолчанию погрешность вычисления равна 1Е-06.

Из высшей математики известно, что к определённым интегралам могут быть сведены многие другие типы интегралов, например криволинейные интегралы. Таким образом, с помощью функций quad, quad8 (или trapz) можно вычислить и эти интегралы.

 

Примеры:

Q = quad(@myfun,0,2);

myfun.m файл с подынтегральной функцией:

%-------------------%

function y = myfun(x)

y = 1./(x.^3-2*x-5);

%-------------------%

 

Если функция имеет в качестве дополнительного параметра константу:

 

Q = quad(@(x)myfun2(x,5),0,2);

myfun2.m - файл с подынтегральной функцией

%----------------------%

function y = myfun2(x,c)

y = 1./(x.^3-2*x-c);

%----------------------%

 

Пример 3.1.1 Рассмотрим пример вычисления криволинейного интеграла первого рода. Пусть требуется вычислить массу М винтовой линии С:

х = sin(t); у = 2cos(t); z =3t; 0 <= t <= 2

с постоянной линейной плотностью, равной 5.

Задача решается с помощью криволинейного интеграла первого рода:

который сводится к вычислению следующего обыкновенного определённого интеграла:

Для вычисления подынтегральной функции создадим следующий текст:

function [z] = Fun311(t)

%Вычисляет значение функции

% z = sqrt(cos(t)^2 + 4*sin(t)^2 +9)

z = sqrt(cos(t).^2 + 4*sin(t).^2+9);

End

 

который запишем в файл Fun311.m, после чего вызываем функцию quad:

M = 5*quad('Fun311',0,2)

М =

34.2901

Двойные интегралы в системе MATLAB вычисляются с помощью специальной функции dblquad.

Пример 3.1.2 Вычислим интеграл:

Оформим подынтегральную функцию в следующем виде:

function z = Fun312(x, у)

z = x.*sin(y) + y.*sin(x);

(записав этот текст в файл Fun312.m) и вызовем функцию dblquad:

J = dblquad('Fun312', 0, 1, 1, 2);

J =

1.1678

 

Пример 3.1.3 Вычислить значение интеграла функции y(x) на отрезке [1;3] с шагом 0.1 и построить график на отрезке интегрирования при d= 5.

Последовательность действий будет такой:

1) Создаем процедуру (подпрограмму) F1 вычисления y(x) и сохраняем в файле F1.m

 

function [y] = Fun313(x,d)

%Процедура вычисляет значение функции

% y = d^3*sqrt(sin(x)4+cos(x)4).

% Обращение y = F1(x,d).

y = d^3*sqrt(sin(x).^4+cos(x).^4);

End

где y – выходной параметр (возвращает результат работы процедуры)

x,d - входные параметры (передаёт в процедуру значение аргумента x и константы d)

2) Вычисляем значение интеграла используя процедуру quad не задавая шаг интегрирования.

>> d=5;

>> M =d^3*quad(@(x)Fun313(x,d), 1, 3)

M =

2.701850399088707e+04

2) Строим график заданной функции

>> z= 1:0.1:3;

>> my = Fun313(z,5);

>> plot(z,my)

>> xlabel('(x)'); ylabel('(y)');

>> set(gcf,'color','white'); title('График функции "y = (d3)*sqrt(sin(x)4+cos(x)4)."')

В результате получим график (Рис.3.1)

 

Рис. 3.2График функции

 

Пример 3.1.4

Определить экстремумы функции y=x⁴-0.5x³-28x²+140 на отрезке [-4;6]

В M-файле с именем Fun314.m пишем:

function [y] = Fun314(x)

y=x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140;

End

Потом в командном окне пишем:

x=-4:0.1:6;

y=x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140;

Plot(x,y,'-k'), grid

Опираясь на полученный график (Рис.3.3 а) функции задаём интервалы поиска локальных экстремумов.

% Ближайший минимум функции от точки x=-4

y=Fun314(x);

[xmin,ymin]=fminsearch(@Fun314,-4)

xmin = -3.558886718750000e+00

ymin = -3.168172523631594e+01

 

Для другого интервала [0;5]

% Минимум функции на интервале от точки x=3

[xmin,ymin]=fminsearch(@Fun314,3)

xmin = 3.933875000000005e+00

ymin = -8.426236646759048e+01

 

Для определения максимума ставим знак минус перед вычислением f(x) в функции записанной в файле Fun341 и сохраняем его с именем Fun341a

function [y] = Fun314a(x)

y=-(x.^4-0.5*x.^3-28*x.^2+140);

End

строим график записанной нами функции Fun341a (Рис.3.2.б)

>> x=-4:0.1:6;

>> y=Fun314a(x);

>> plot(x,y,'-k'), grid

И определяем «минимум» в интервале [-2,2], который является максимумом для исходной функции

[xmax,ymax]=fminsearch(@Fun314a,-2,2)

xmax = 1.776356839400251e-15

ymax = -140

 

а)

б)

 

Рис.3.3 Определение экстремумов функции y=x⁴-0.5x³-28x²+140 на отрезке [-4;6]

 

End

>> [z,fval]=fminunc(@Fun316,[3 3],optimset('Gradobj','on'))

Локальный минимум найден.

Процесс оптимизации завершён, потому что шаг градиента - меньше чем

значение по умолчанию функционального допуска.

< подробности критериев остановки >

z = 0 0

fval = 0

 

Из полученного результата можно сделать вывод, что функция fminunc выполняет задачу с большей точностью, чем функция fminsearch. Но для её использования необходимо хорошо представлять математический аппарат алгоритма нахождения экстремума функции.

Рис.3.5. Графическая иллюстрация и матмодель задачи.

 

Расстояние от земли до точки их пересечения составляет 10 метров. Определить ширину коридора.

Решение. Обозначим расстояние от верхних точек лестниц до земли через a и b, ширину переулка через x, а расстояние от точки пересечения до левой стенки через y. Тогда можем записать систему 4 уравнений с 4 неизвестными, приведённую на рис. 4.18.

Решим систему в численном виде с помощью команды fsolve. Предварительно составим вспомогательную функцию Fun318, содержащую информацию об уравнениях.

function [fn]=Fun318(p)

x=p(1); y=p(2); a=p(3); b=p(4);

f(1)=x^2 + a^2 - 45^2; f(2)=x^2 + b^2 - 35^2;

f(3)=y/10 - x/b; f(4)=(x-y)/10 - x/a;

fn=f(:);

End

Решаем систему, задав вектор начальных условий [10; 10; 20; 20]

x=fsolve(@Fun318,[10; 10; 20; 20])

Уравнение решено.

fsolve завершил работу, потому что вектор функциональных значений – близок к нулю

как измерено значением по умолчанию функционального допуска, и

проблема кажется регулярной как определено градиентом.

< подробности критериев завершения >

 

x = 3.181745909535552e+01

2.181893352212048e+01

3.182215103847459e+01

1.458249967308561e+01

Получаем ответ: x =31.8175; y =21.8189; a =31.8222; b =14.5825.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

 

1. Ознакомиться с теоретическим материалом и ответить на вопросы.

2. Организовать ввод данных и вычисления в интерактивном режиме согласно заданиям.

3. Протоколы выполненных заданий оформить в текстовом процессоре Word, показать преподавателю.

Задание №1

Создайте m-файл, вычисляющий значения функции f(x) на отрезке [ a; b ] с шагом h (Таблица 2.1). Постройте график этой функции с помощью процедуры fplot в границах, заданных в задании. Вычислите интеграл от функции в тех же пределах, используя встроенные функции. Найдите экстремумы и ближайший корень (нуль) функции.

Таблица 2.1

Вар	Функция f(x)	a	b	h	Вар	Функция f(x)	a	b	h
		1.1	3.1	0.2		(ex/5)-2(x-1)2	-1		0.2
		2.05	3.05	0.1			-0,2	0,8	0,1
			1.6	0.16					0,2
		-1		0,1			0,5	1,5	0,1
		0,1	0,8	0,07			0,2	0,5	0,03
		1,4	2,4	0,1					0,5
		0,25	2,25	0,2			-0,5	0,5	0,1
		1,8	2,8	0,1					0,2
		0,1	0,9	0,08			1,2	2,2	0,1
		-0,1	0,9	0,1					0,4
			2,5	0,15			2,75	4,2	0,2
				0,7			2,35	4,55	0,5
				0,2			8,5	12,5	0,5
			1,7	0,17			6,32	7,8
		6,25	6,65	0,05			7,5	9,5	0,5

 

 

Задание №2

Найдите локальные экстремумы функции двух переменных, приняв за начальную, точку с заданными координатами x₀, y₀ (таблица 2.1). Предварительно создайте соответствующую файл-функцию.

Таблица 2.1

Вар.	Функция f(x,y)	x0	y0
		0.0	1.0
		0.7	-1.2
		1.5	-0.5
		0.5	1.5
		0.0	1.0
		1.2	0.7
		0.0	-0.9
		0.8	1.3
		1.5	0.5
		0.5	-1.5
		0.0	-1.0
		1.2	-0.8

 

Задание №3

Рассчитать аэродинамический нагрев тела в полете со скоростью V, в зависимости от высоты полета H для условий международной стандартной атмосферы (МСА).

Значение высоты H принять от 0 до 25000м с шагом 1000м.

Зависимость температуры атмосферы T_H [K]от высоты Н [м] определяется по формуле:

T_H = T₀ - β·Н

где β - коэффициент снижения температуры β = 6,5·10-3 [K/м];

T₀ – температура атмосферы на высоте Н = 0, T₀= 288,2[K]

Начиная с высоты 11000м (тропосфера) до высоты 25000м (стратосфера) температура окружающей среды остается постоянной.

Аэродинамический нагрев Δ T* [K] рассчитывается по формуле:

где М _Н – число Маха _; а_Н – местная скорость звука [м/с], определяется по формуле _.

Показатель адиабаты для воздуха k = 1,4.

Удельная газовая постоянная R = 287,13[Дж/кг·К]

Варианты исходных данных (скорость полета V _H)

 

Вариант задания
Скорость полета [м/c]

 

В отчете о выполнении задания необходимо:

1. Вывести рассчитанные данные зависимостей T_H (Н) и Δ T*(Н) в виде таблиц. Для чего после расчета сохранить их в текстовый файл. Затем ….

2. Построить графики этих зависимостей.

ИНЖЕНЕРНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Лабораторная работа № 3.

Решение типовых задач алгебры и анализа

Создание процедур (файлов-функций) в среде MatLAB

Цель работы: