Определение емкости конденсаторов при помощи мостиковой схемы

 

Цель ра­бо­ты: оп­ре­де­ле­ние ем­ко­сти кон­ден­са­то­ров при раз­лич­ных их соедине­ни­ях с по­мо­щью мос­та пе­ре­мен­но­го то­ка. Оз­на­ком­ле­ние с ра­бо­той мос­та Со­тти.

 

Теоретическое введение

Элек­тро­ем­кость уе­ди­нен­но­го про­вод­ни­ка - это од­на из его ха­рак­те­ри­стик, ко­то­рая по­ка­зы­ва­ет, ка­кой за­ряд нуж­но со­об­щить данно­му про­вод­ни­ку, что­бы его по­тен­ци­ал из­ме­нил­ся на еди­ни­цу, и опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле:

, (3.1)

где C - ем­кость про­вод­ни­ка; j - потенциал, ко­то­рый по­лу­чил про­вод­ник при со­об­ще­нии ему за­ря­да q.

Элек­тро­ем­кость про­вод­ни­ка за­ви­сит от его раз­ме­ров, фор­мы, нали­чия по со­сед­ст­ву дру­гих про­вод­ни­ков и от ди­элек­три­че­ской прони­цае­мо­сти сре­ды.

Еди­ни­цей элек­тро­ем­ко­сти в сис­те­ме СИ яв­ля­ет­ся 1 фа­ра­да - это элек­тро­ем­кость та­ко­го про­вод­ни­ка, по­тен­ци­ал ко­то­ро­го при со­об­щении за­ря­да в 1 Ку­лон из­ме­ня­ет­ся на 1 Вольт.

Кон­ден­са­то­ром на­зы­ва­ет­ся со­во­куп­ность двух лю­бых проводников с оди­на­ко­вы­ми по аб­со­лют­но­му зна­че­нию, но про­ти­во­по­лож­ны­ми по зна­ку за­ря­да­ми.

Ем­кость кон­ден­са­то­ра оп­ре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем за­ря­да на од­ной из его об­кла­док к раз­но­сти по­тен­циа­лов ме­ж­ду об­клад­ка­ми:

. (3.2)

В боль­шин­ст­ве слу­ча­ев фор­ма об­кла­док кон­ден­са­то­ра и их вза­им­ное рас­по­ло­же­ние под­би­ра­ют та­ким об­ра­зом, что­бы внеш­ние по­ля су­ществен­но не влия­ли на элек­три­че­ское по­ле ме­ж­ду ни­ми и си­ло­вые линии, на­чи­наю­щие­ся на од­ной из об­кла­док, обя­за­тель­но за­кан­чи­ва­лись на дру­гой. Бла­го­да­ря это­му все­гда обес­пе­чи­ва­ет­ся ра­вен­ст­во аб­солют­ных зна­че­ний за­ря­дов на об­клад­ках.

К про­стей­шим ти­пам кон­ден­са­то­ров от­но­сят­ся пло­ские, сфе­ри­че­ские и ци­лин­д­ри­че­ские.

Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3

Емкость приведенных на рисунках 3.1–3.2 конденсаторов может быть рассчитана по формулам:

плос­кий конденсатор (рис. 3.1):

; (3.3)

сфе­ри­че­ский конденсатор (рис. 3.2):

; (3.4)

цилиндрический конденсатор (рис. 3.3):

(3.5)

Докажем формулу (3.4). Для вычисления разности потенциалов на обкладках конденсатора воспользуемся формулой связи напряженности электростатического поля и потенциала: ; или, то же самое в интегральной форме: . Интегрировать здесь будем по радиус-вектору, проведенному от внутренней обкладки к внешней. Вектор напряженности поля направлен радиально (в силу симметрии), тогда

. (3.6)

Напряженность поля между обкладками можно найти по теореме Остроградского-Гаусса (3.7), согласно которой поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных поверхностью, деленной на εε ₀:

. (3.7)

В качестве Гауссовой поверхности в нашем случае следует взять сферу, концентрическую обкладкам, радиусом r: R ₁< r < R ₂. Из-за симметрии напряженность поля в любой точке сферы одинакова и совпадает по направлению с нормалью к поверхности в данной точке, и величину Е можно вынести из под знака интеграла в (3.7), а . В правой части (3.7) суммарный заряд, охваченный Гауссовой поверхностью, - это заряд внутренней обкладки, то есть заряд конденсатора q. Тогда

. (3.8)

Здесь учтено, что - площадь сферы. Выразив Е из (3.8) и подставив в (3.6), получим:

,

откуда с учетом (3.2) получается (3.4).

Аналогично докажем (3.5). В качестве Гауссовой поверхности здесь следует взять цилиндр, коаксиальный обкладкам цилиндрического конденсатора, радиусом r: r ₁< r < r ₂ и длиной l. Тогда из (3.7) получим:

.

Далее, из (3.6):

,

Откуда с учетом (3.2) получим (3.5).

Рис. 3.4

Кон­ден­са­то­ры ха­рак­те­ри­зу­ют­ся не толь­ко их элек­три­че­ской ем­ко­стью, но так­же и на­пря­же­ни­ем про­боя – та­кой ми­ни­маль­ной раз­но­стью по­тен­циа­лов об­кла­док, при ко­то­рой про­ис­хо­дит элек­три­че­ский раз­ряд че­рез слой ди­элек­три­ка в кон­ден­са­то­ре.

В тех слу­ча­ях, ко­гда ем­ко­сти од­но­го кон­ден­са­то­ра ока­зы­ва­ет­ся не­дос­та­точ­но, кон­ден­са­то­ры со­еди­ня­ют па­рал­лель­но (рис.3.4). При этом на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­рах ока­зы­ва­ет­ся оди­на­ко­вым: U _i= U. Об­щий за­ряд ба­та­реи

,

где n - об­щее чис­ло кон­ден­са­то­ров; q _i - за­ряд i-го кон­ден­са­то­ра. Ем­кость ба­та­реи кон­ден­са­то­ров рав­на сум­ме ем­ко­стей от­дель­ных кон­ден­са­то­ров. С учетом того, что из (3.2) заряд каждого конденсатора q_i=C _i U _i, где С _i - емкость i-го кон­ден­са­то­ра, а общий заряд q=CU,

,

и после сокращения:

(3.9)

Рис. 3.5

По­сле­до­ва­тель­но кон­ден­са­то­ры со­еди­ня­ют в том слу­чае, ко­гда их нужно вклю­чить в цепь с на­пря­же­ни­ем вы­ше то­го, на ко­то­рое рас­счи­тан от­дель­ный кон­ден­са­тор. При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии кон­ден­саторов (рис. 3.5) за­ря­ды на кон­ден­са­то­рах оди­на­ко­вы: q _i= q, а полное напряжение на батарее равно сумме напряжений:

.

С учетом (3.2) , , тогда получим:

,

и после сокращения:

, (3.10)

то есть ве­ли­чи­на, об­рат­ная ем­ко­сти ба­та­реи, рав­на сум­ме об­ратных ве­ли­чин ем­ко­стей от­дель­ных кон­ден­са­то­ров.

При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии за­ря­ды на кон­ден­са­то­рах оди­на­ко­вы, на­пря­же­ние на них рас­пре­де­ля­ет­ся в за­ви­си­мо­сти от их ем­ко­стей, чем умень­ша­ет воз­мож­ность про­боя кон­ден­са­то­ра.

 

Экспериментальная часть

 

Приборы и обо­ру­до­ва­ние: ма­га­зин ем­ко­стей, мик­ро­ам­пер­метр, на­бор кон­ден­са­то­ров, транс­фор­ма­тор, ре­зи­сто­ры.

 

Схема и описание установки

В дан­ной ра­бо­те для оп­ре­де­ле­ния ем­ко­сти кон­ден­са­то­ра исполь­зу­ет­ся его спо­соб­ность про­пус­кать пе­ре­мен­ный ток, соз­да­вая при этом оп­ре­де­лен­ное со­про­тив­ле­ние то­ку, свя­зан­ное с ем­ко­стью:

. (3.11)
где w – цик­ли­че­ская час­то­та то­ка, С – ем­кость.

Со­от­но­ше­ние (3.11) по­зво­ля­ет све­сти из­ме­ре­ние ем­ко­сти к из­мере­нию ем­ко­ст­но­го со­про­тив­ле­ния R_c. Мос­ти­ко­вая схе­ма для из­ме­рения со­про­тив­ле­ния ис­поль­зу­ет­ся в дан­ном слу­чае для оп­ре­де­ле­ния ем­ко­сти. При­ме­няя урав­не­ния Кирх­го­фа и ис­поль­зуя ус­ло­вие ра­венства ну­лю то­ка в диа­го­на­ли мос­та Сотти, мож­но по­лу­чить сле­дую­щие со­от­но­ше­ния:

(3.12)
. (3.13)

По­доб­рав та­кое зна­че­ние С _э, при ко­то­ром ток мик­ро­ам­пер­мет­ра равен нулю, из (3.13) най­дем зна­че­ние не­из­вест­ной ем­ко­сти:

Рис. 3.7

. (3.14)

Рис. 3.6

 

 

Ус­та­нов­ка смонтирована в металлическом корпусе. Схема ее представлена на рис.3.6: С_х– кон­ден­са­тор с не­из­вест­ной ем­ко­стью;С_э– эта­лон­ная ем­кость (ма­га­зин емкостей); R₁и R₂– из­вест­ные со­про­тив­ле­ния:R₂=10 кОм; R₁ мож­но ме­нять, ус­та­нав­ли­вая 12 кОм или 2 кОм.

Па­нель с на­бо­ром кон­ден­са­то­ров, ем­кость ко­то­рых не­об­хо­ди­мо оп­ре­делить, показана на рис. 3.7. Об­ра­тите вни­ма­ние на вклю­че­ние кон­ден­са­то­ров в схему: С ₁ – должны быть со­еди­не­ны пе­ре­мыч­кой клем­мы 3 и 6; С ₂ – клем­мы 1 и 2; 5 и 6; С ₃ – клеммы 1 и 4.

 

Порядок выполнения работы

1. Оз­на­ко­мить­ся с экс­пе­ри­мен­таль­ной ус­та­нов­кой.

2. Под­го­то­вить таб­ли­цу по предлагаемой форме 3.1 для за­пи­си ре­зуль­та­тов экс­пе­ри­мен­та и рас­че­та.

3. Подключить сопротивление R₁=2 кОм.

4. Под­клю­чить кон­ден­са­тор с емкостью С ₁.

 

5. По­во­ра­чи­вая ру­ко­ят­ки ма­га­зи­на эта­лон­ных ем­ко­стей, на­чи­ная с ле­вой, до­бить­ся рав­но­ве­сия мос­та. Ве­ли­чи­ну ем­ко­сти С _Э за­пи­сать в таб­лицу 3.1.

6. Вы­чис­лить ем­кость С _х по фор­му­ле (3.14):

. (3.14)

7. Ана­ло­гич­но по­вто­рить из­ме­ре­ние для дру­гих кон­ден­са­то­ров С ₂ и С ₃. Ве­личи­ну измеренной ем­ко­сти С _Э и вычисленной С _х за­пи­сать в таб­лицу 3.1.

Таблица 3.1.

R1=2 кОм	Измеряемая емкость	C Э , мкФ	C x, мкФ	D C x, мкФ	C x. теоретич. мкФ	C теор– С экспер. мкФ	Е (С)
Опыт 1	Опыт 2	Опыт 3	Средн.
С 1							–	–	–
С 2
С 3
Последоват. С 1, С 2 и С 3
Параллельн. С 1, С 2 и С 3

 

8. Со­еди­нить С ₁, С ₂, С ₃ сна­ча­ла по­сле­до­ва­тель­но (как по­ка­за­но на ри­с. 3.7), за­тем па­рал­лель­но и измерить емкость по­сле­до­ва­тель­но и па­рал­лель­но со­еди­нен­ных кон­ден­са­то­ров (см. пункты 4-6); все результаты записать в таблицу 3.1.

9. Подключить сопротивление R₁=12 кОм и повторить все измерения и вычисления по пунктам 4-8; результаты записать в табл. 3.2.

10. Вы­чис­лить теоретические значения ем­костей при последовательном и параллельном соединениях, используя общие формулы (3.9) и (3.10).

11. Срав­нить ре­зуль­та­ты, по­лу­чен­ные экс­пе­ри­мен­таль­но и по рас­че­там.

12. Най­ти по­греш­ность пря­мых из­ме­ре­ний.

13. Оценить относительную погрешность Е (С) для последовательно и параллельно соединенных емкостей по формуле:

,

ре­зуль­та­ты за­не­сти в таб­ли­цы 3.1 и 3.2.

14. Сде­лать вы­во­ды.

Таблица 3.2.

R1=12 кОм	Измеряемая емкость	C Э, мкФ	C x, мкФ	D C x, мкФ	C x. теоретич. мкФ	C теор– С экспер. мкФ	Е (С)
Опыт 1	Опыт 2	Опыт 3	Средн.
С 1							–	–	–
С 2
С 3
Последоват. С 1, С 2 и С 3
Параллельн. С 1, С 2 и С 3

 

Контрольные вопросы

1. Что называется емкостью проводника? Конденсатора?

2. Вывести формулу для емкости плоского конденсатора; сферического конденсатора; цилиндрического конденсатора.

3. Вывести ус­ло­вие рав­но­ве­сия мос­та Со­тти. Из­ме­нит­ся ли рав­нове­сие мос­та Со­тти при из­ме­не­нии час­то­ты пе­ре­мен­но­го то­ка?

4. Вы­вес­ти фор­му­лу ем­ко­сти для па­рал­лель­но­го и по­сле­до­ва­тель­но­го со­еди­не­ния кон­ден­са­то­ров.

Используемая литература

[1] §§ 16.1-16.3;

[2] §§ 11.5, 11.6;

[3] §§ 2.15-2.18, 2.20, 2.22;

[4] т.2, §§ 26, 27;

[5] § 94.

 

Лабораторная работа 2-04