Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-09-01 | 610 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
О п р е д е л е н и е 11. Числовой ряд вида
(10)
называется гармоническим рядом.
О п р е д е л е н и е 12. Числовой ряд вида
где (11)
называется рядом Дирихле (или обобщенным гармоническим рядом).
З а м е ч а н и е 7. Ряд (10) можно рассматривать как частный случай ряда (11) при
Т е о р е м а 5. Ряд Дирихле (11) сходится при и расходится при
З а м е ч а н и е 4. Ряд (11), где также является расходящимся. Но в этом случае для него не выполнено необходимое условие сходимости, так как
Поэтому числовой ряд (11) сходится при и расходится при
ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
Т е о р е м а 6 (первый признак сравнения). Пусть члены положительных рядов
(12)
(13)
удовлетворяют неравенству:
(14)
Тогда: если ряд (13) сходится, то сходится ряд (12); если ряд (12) расходится, то расходится ряд (13).
З а м е ч а н и е 9. Теорема 6 сохраняет силу, если условие (14) будет выполнено, начиная с некоторого номера (так как отбрасывание или приписывание к ряду любого конечного числа первых членов не меняет характер сходимости ряда).
Т е о р е м а 7 (второй признак сравнения). Пусть члены положительных рядов (12) и (13) таковы, что существует конечный предел
(15)
Тогда ряды (12) и (13) эквивалентны с точки зрения сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.
З а м е ч а н и е 10. Для сравнения с данным рядом во многих случаях целесообразно в качестве второго ряда выбирать ряд Дирихле который сходится, если и расходится, если
ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА
Т е о р е м а 8 (признак Даламбера). Пусть для положительного ряда (7) существует конечный предел
(16)
Тогда при ряд (7) сходится, при ряд (7) расходится. При вопрос о сходимости или расходимости ряда (7) остается нерешенным.
|
З а м е ч а н и е 11. Если
То, как и в случае ряд (7) расходится.
РАДИКАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ
Т е о р е м а 9 (радикальный признак Коши). Пусть для положительного ряда (7) существует конечный предел
(17)
Тогда при ряд (7) сходится; при ряд (7) расходится; при вопрос о сходимости ряда (7) остается нерешенным.
З а м е ч а н и е 12. Если то, как и при ряд (7) расходится.
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Указать седьмой член последовательности
.
Р е ш е н и е. Нетрудно видеть, что общий член рассматриваемой последовательности задается формулой: . Придавая числу разные значения из множества натуральных чисел, находим члены последовательности. Например,
, , .
О т в е т: .
Пример 2. Найти общий член последовательности
. (18)
Указать ее 18-й член.
Решение. Заметим, что числители дробей (7)образуют арифметическую прогрессию , у которой первый член и разность .
Поэтому -й член последовательности нечетных натуральных чисел находим по формуле:
.
Знаменатели дробей (18) образуют геометрическую прогрессию , у которой -й член вычисляется по формуле . Следовательно, общий член последовательности (18) задается формулой: . Поэтому заключаем: .
Ответ:
П р и м е р 3. Найти общий член ряда:
Р е ш е н и е. Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена, поэтому показатель го члена равен Числители дробей образуют арифметическую прогрессию, где и Поэтому й числитель равен Знаменатели указанных дробей образуют арифметическую прогрессию с и поэтому й знаменатель равен Тогда общим членом ряда является
О т в е т:
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд:
. (19)
Р е ш е н и е. Для ряда (19) имеем:
,
Следовательно, я частичная сумма ряда (8) вычисляется по формуле:
Поэтому Значит, ряд (19) сходится и его сумма .
О т в е т: сходится, .
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
. (20)
Р е ш е н и е. Найдем для него ю частичную сумму:
Следовательно, Поэтому ряд (20) расходится.
|
О т в е т: расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость положительный ряд
.. (21)
Решение. В данном случае общий член ряда задается формулой , откуда находим:
Следовательно, нарушено необходимое условие сходимости ряда и по замечанию 2 ряд (21) расходится.
Ответ: ряд расходится.
Пример 7. Исследовать сходимость рядов:
Решение. В этом случае ряд составлен из членов геометрической прогрессии, где и . Так как , то по теореме 2 ряд сходится и его сумма вычисляется по формуле: .
В этом случае ряд составлен из членов геометрической прогрессии, где и . Так как , то по теореме 2 ряд расходится.
Ответ: сходится, ; расходится.
Пример 8. Исследовать сходимость ряда
. (22)
Решение. Рассмотрим вспомогательный числовой ряд
, (23)
полученный из ряда (22) отбрасыванием первых трех членов. Видим, что ряд (23) составлен из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , значит, . Следовательно, по теореме 2 ряд (23) сходится и имеет сумму
.
Поэтому, воспользовавшись свойством 2, получаем: ряд (11) сходится и его сумма равна числу:
.
Ответ: сходится, .
П р и м е р 9. Найти сумму ряда
Р е ш е н и е. Заметим, что для любого натурального числа справедливо равенство:
Применим эту формулу для вычисления частичной суммы
Следовательно,
О т в е т:
П р и м е р 10. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию при Она непрерывна на положительна и монотонно убывает ( Поэтому интегральный признак Коши применим к рассматриваемому ряду.
Вычислим интеграл:
Итак, по интегральному признаку Коши из расходимости интеграла следует расходимость изучаемого в примере ряда.
О т в е т: расходится.
П р и м е р 11. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию , Она непрерывна при положительна, монотонно убывает (так как
Вычислим интеграл:
Следовательно, несобственный интеграл сходится. Значит, по интегральному признаку Коши сходится рассматриваемый в примере ряд.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 12. Исследовать на сходимость ряды:
а) б)
Р е ш е н и е. Ряд а) совпадает со следующим: . Он расходится как ряд Дирихле с показателем Ряд б) совпадает со следующим: . Он сходится как ряд Дирихле с показателем
О т в е т: а) расходится; б) сходится.
П р и м е р 13. Исследовать сходимость ряда:
|
Р е ш е н и е. Общий член данного ряда задается формулой:
Рассмотрим вспомогательный ряд с общим членом Нетрудно видеть, что так как
Значит, вспомогательный ряд сходится как ряд Дирихле с показателем Следовательно, по первому признаку сравнения положительных рядов следует сходимость исходного ряда.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 14. Исследовать на сходимость ряд:
Р е ш е н и е. В данном случае Рассмотрим вспомогательный ряд , для которого Так как то есть . Следовательно, выполнены условия первого признака сравнения рядов.
Известно, что выбранный вспомогательный ряд - ряд Дирихле с показателем Следовательно, он сходится. Тогда по первому признаку сравнения будет сходиться и данный в примере ряд.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 15. Исследовать на сходимость ряд:
(24)
Р е ш е н и е. Для сравнения с рядом (24) возьмем расходящийся гармонический ряд На рис. 1 даны графики функций и Очевидно, что в частности, при , где . Тогда откуда заключаем:
у
у = х
у = lnx
1
О 1 е х
Рис. 1
Следовательно, по первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда (24).
О т в е т: расходится.
П р и м е р 16. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. Применим второй признак сравнения, рассмотрев дополнительно гармонический ряд. Тогда , откуда получаем
Следовательно, учитывая, что гармонический ряд расходится, расходящимся является рассматриваемый в примере ряд.
О т в е т: расходится.
П р и м е р 17. Исследовать сходимость ряда:
(25)
Р е ш е н и е. Заметим, что для ряда (25) общий член при больших значениях числа удовлетворяет приближенному равенству:
.
Поэтому для сравнения с рядом (25) возьмем ряд Дирихле с показателем а значит, сходящийся. Его общий член задается формулой:
Вычислим предел:
Следовательно, по второму признаку сравнения ряд (26) сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 18. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. Напомним, что Для данного ряда и .
Вычислим предел:
Следовательно, исходный ряд расходится по признаку Даламбера.
О т в е т: расходится.
|
П р и м е р 19. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. Для данного ряда и . Поэтому получаем:
Следовательно, учитывая, что то по признаку Даламбера заключаем: рассматриваемый ряд сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 20. Исследовать на сходимость ряд:
где .
Р е ш е н и е. В данном случае Поэтому получаем:
Следовательно, воспользовавшись признаком Даламбера, где заключаем: ряд сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 21. Исследовать на сходимость ряд:
Р е ш е н и е. В данном случае Поэтому получаем:
Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится, так как
О т в е т: расходится.
П р и м е р 22. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. Для данного ряда . Вычислим предел:
Следовательно, так как , то по радикальному признаку Коши изучаемый в примере ряд сходится.
О т в е т: сходится.
П р и м е р 23. Исследовать сходимость ряда:
Р е ш е н и е. В данном случае
, откуда
Вычислим предел:
Следовательно, по радикальному признаку Коши рассматриваемый в примере ряд расходится.
О т в е т: расходится.
ПРИМЕРЫ
Найти общий член ряда:
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. .
Исследовать на сходимость, исходя из определения, и найти сумму:
9. 10. 11. 12.
Проверить выполнение необходимого условия сходимости ряда:
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
Исследовать на сходимость по интегральному признаку Коши:
29. 30. 31. 32. 33. 34.
35. 36. 37. 38. 39.
40. 41. 42. 43. 44.
Исследовать ряды на сходимость по признакам сравнения:
45. 46. 47. 48. 49.
50. 51. 52. 53.
54. 55. 56. 57.
58. 59. 60. 61.
Исследовать ряды на сходимость по признаку Даламбера:
62. 63. 64. 65. 66.
67. 68. 69. 70. 71. 72.
73. 74. 75. 76.
Исследовать сходимость рядов с помощью радикального признака Коши:
77. 78. 79. 80.
81. 82. 83. 84.
ОТВЕТЫ
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. сходится; 10. сходится; 11. сходится;
12. сходится; 13. выполняется. 14. выполняется. 15. выполняется.
16. выполняется. 17. выполняется. 18. невыполняется, расходится.
19. выполняется. 20. выполняется. 21. не выполняется, расходится.
22. выполняется. 23. выполняется. 24. выполняется. 25. выполняется.
26. выполняется. 27. выполняется. 28. не выполняется, расходится.
29. расходится. 30. сходится. 31. расходится. 32. расходится.
33. сходится. 34. расходится. 35. расходится. 36. сходится.
37. расходится. 38. расходится. 39. сходится. 40. расходится.
41. сходится. 42. сходится. 43. расходится. 44. расходится.
45. сходится. 46. расходится. 47. расходится. 48. расходится.
49. расходится. 50. сходится. 51. сходится. 52. сходится.
53. сходится. 54. сходится. 55. расходится. 56. сходится.
57. расходится. 58. сходится. 59. расходится. 60. расходится.
61. сходится. 62. расходится. 63. сходится. 64. сходится.
65. сходится. 66. сходится. 67. сходится. 68. расходится.
|
69. сходится. 70. сходится. 71. сходится. 72. сходится.
73. расходится. 74. сходится. 75. сходится. 76. расходится.
77. сходится. 78. расходится. 79. сходится. 80. расходится.
81. сходится. 82. расходится. 83. сходится. 84. сходится.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!