Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-08-24 | 659 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 1. Под углом между ненулевыми векторами и понимаем угол из промежутка [0, p] между представителями этих векторов, отложенных от одной точки.
Угол между векторами и считаем неопределенным, если хотя бы один из векторов нулевой
(иногда его считают равным нулю или ).
Определение 2. Под скалярным произведением двух ненулевых векторов и понимаем число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то под их скалярным произведением понимаем число 0.
Обозначаем: × или (, ).
Итак,
× = | |×| | cos j.
Следствие 1. 2 = | |2.
Следствие 2. Пусть и ненулевые векторы. Если их скалярное произведение равно нулю, то они перпендикулярны. Верно и обратное утверждение.
Пусть в базисе { } заданы векторы (), (), ().
Свойство 1. × = .
|
|
( − )2 = 2 + 2 - 2| |×| | cos j =
= 2 + 2 – 2(, ).
Отсюда находим
(, ) = ( 2 + 2 − ( - )2).
Ранее мы получили формулу | | = для вычисления длины вектора, которую применим к полученному равенству:
(, ) = ( + - (()
и
× = .
Свойство 2. × = × .
Доказательство. Согласно свойству 1 имеем:
× = ,
× = .
Правые части равны, так как произведение действительных чисел обладает свойством коммутативности. Поэтому и левые части рассматриваемых равенств равны, то есть × = × . Свойство доказано.
Свойство 3. l (, ) = (l , ) = (, l ).
Докажем, например, равенство: l (, ) = (, l ).
Так как
× = ,
то
l (, ) = l() = = (, l ).
Свойство 3 доказано.
Свойство 4. (, + ) = (, ) + (, ).
Доказательство. (, + ) = =
|
= ( ( =
= ( + =
= (, ) + (, ).
Свойство 3 доказано.
Пример 1. В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны координаты векторов , , . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение. Для решения задачи достаточно показать перпендикулярность векторов и . Так как = + , = + , то находим координаты этих векторов: , (6, −4, 0). Находим скалярное произведение в координатной форме:
× = 6×6 + 9×(−4) +(−3)× 0 = 0.
Следовательно, ^ и диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
Пример 2.
Выразить квадрат длины медианы треугольника через длины его сторон.
Решение. Рассмотрим в данном треугольнике ABC медиану BB1. Введем обозначения: = , = , = ,
= . Тогда справедливо следующее равенство: = ().
Возведем обе части данного равенства в квадрат (скалярно):
(1)
Воспользуемся равенством:
.
После возведения обеих его частей скалярно в квадрат получим:
. (2)
Тогда из равенств (1) и (2) вытекает следующее равенство:
.
Учитывая следствие 1, последнее равенство можно записать следующим образом:
,
т.е.
, где , =|BC|, b=|AC|, =|AB|.
Пример 3.
Дан треугольник . Отрезок - его высота. Выразить вектор через векторы и .
Решение.
|
|
Так как векторы и неколлинеарные, то представляют собой базис двумерного векторного пространства. Введем обозначение: .
По правилу треугольника (1) и, при этом, (2).
Из равенства (1) и (2) получаем: (3).
Осталось найти число . Для этого используем ортогональность векторов и , откуда имеем: (4).
Из равенств (3) и (4) получаем: ,
т. е. или ,
откуда (5).
Учитывая, что , равенство (5) можно записать следующим образом: (6).
Тогда из равенств (3) и (6) находим вектор :
.
Для дальнейшего изложения нам необходимы некоторые сведения из курса алгебры.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!