В. А. Долженков, Е. Г. Соловьева

В.А.ДОЛЖЕНКОВ, Е.Г.СОЛОВЬЕВА

 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

	F

K

 

	A

 

 

Курск 2006

 

 

Составители

Виктор Анатольевич Долженков

Елена Георгиевна Соловьева

 

Элементы векторной алгебры

и ее методов

 

 

Учебно-методтческое пособие

 

 

Редактор И.Н.Никитина

 

Лицензия ИД № 06248 от 12.11.2001 г.

Подписано в печать 10.03.2006. Формат 60х84/16. Печать офсетная.

Усл.печ. л. 3. Тираж 50 экз. Заказ

 

Курский государственный университет

305000, г. Курск, ул. Радищева, 33

 

Отпечатано в лаборатории

информационно - методического

обеспечения КГУ

 

Курский государственный университет

Кафедра геометрии

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

§ 1. Понятие направления. Направленные отрезки…………… … 4

§ 2. Понятие вектора. Сложение векторов …………… 7

§ 3. Умножение вектора на число. Линейная зависимость

векторов ………… … 12 § 4. Координаты вектора. Векторные пространства V₁, V₂, V₃ …17

§ 5. Скалярное произведение векторов ………………23 § 6. Векторное произведение двух векторов ……………... 29 § 7. Смешанное произведение трех векторов ………………34

Решение нулевого варианта контрольной работы ……………… 38

Тест ……………….40

Список литературы ……………… 42

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Сложение векторов

На множестве векторов определяется операция сложение векторов следующим образом. Пусть заданы векторы и . Выберем произвольно точку А и от точки А откладываем вектор . Получим точку В: = . Далее, от точки В откладываем вектор . Получим точку С: . Точки А и С определяют направленный отрезок , который в свою очередь определяет вектор = . Вектор называем суммой векторов и . Обозначаем: + = .

C

 

В нашем определении была произвольно выбрана точка А. Поэтому необходимо показать, что от выбора точки А вектор не зависит. Пусть А¢ другая точка. Сделаем те же построения и получим вектор . Покажем, что ~ . Действительно, из построения имеем, что ~ и ~ . Согласно теореме 1 имеем: ~ и ~ . В силу транзитивности отношения эквиполлентности направленных отрезков получим ~ . Отсюда, согласно теореме 1 имеем: ~ , а это говорит о том , что от выбора точки А вектор не зависит.

 

 

 

 

Указанное здесь правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Если векторы и не коллинеарные, то откладывая от точки А оба вектора и , мы получим их сумму как вектор определенный направленным отрезком , где точка С - вершина параллелограмма, построенного на представителях векторов и , отложенных от точки А и противоположная точке А. Действительно, если применить правило треугольника, то получим

+ = + = .

 

 

Пример 2.

Пользуясь параллелограммом, построенном на представителях векторов и , проверить на чертеже справедливость тождества: .

Решение.

 

 

По условию , . Обозначим левую часть тождества , правую . Покажем, что . По правилу параллелограмма , тогда . Таким образом, . (1)

Так как , то , откуда . (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что . Тем самым тождество доказано.

 

Умножение вектора на число. Линейная

Зависимость векторов

 

Определение 1. Под произведением действительного числа l на вектор понимаем новый вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:

1). Если l = 0 или = , то = .

2). Если l ¹ 0 и ¹ , то вектор задаем следующими условиями:

а) | | = |l| | |,

б) ­­ , если l > 0 и ­¯ , если l < 0.

Обозначаем: = l .

Пример1.

Дан ортонормированный базис В этом базисе задан вектор Найти координаты вектора , который коллинеарен вектору и имеет длину, равную 5.

Решение. Из коллинеарности векторов и следует, что существует единственное число a ¹ 0, такое что . Так как (–1; -2; 2), то координаты вектора будут соответственно равны ()

Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство: , откуда

9 ² =25, ² = , или .

Последнее означает, что задача имеет два решения:

, .

Пример 2.

Треугольник АВС построен на векторах (0,-3,4) и

(2,-1,2) в ортонормированном базисе .

Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.

Решение.

 

 

Построим вектора и такие, что: и , причем . На данных векторах построим ромб . Диагональ AD ромба лежит на биссектрисе угла . Следовательно, вектор параллелен биссектрисе угла и, при этом, = + (1).

Из построения векторов и получаем следующие равенства:

 

= и = .

Из последних равенств и равенства (1) следует, что

 

= + .

Так как и , то

=5 +3 ,

откуда

(10;−14;22).

Так как вектор параллелен биссектрисе угла , то и вектор (5,−7,11) будет параллельным этой биссектрисе. Любой другой вектор , параллельный биссектрисе угла , будет иметь координаты

где

Таким образом, решением является вектор где

 

 

Пример 3.

Дан параллелепипед . Точки и - середины соответственно ребер и . В качестве базисных векторов взяты векторы , , . Найти координаты векторов , и в данном базисе.

Решение.

 

1) (1), (2),

, откуда (3).

Из равенств (1), (2), (3) следует, что .

Используя свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов, получаем следующее равенство: .

Следовательно, .

2) , откуда получаем: .

3) (1), , откуда (2),

, откуда (3).

Из равенств (1), (2) и (3) имеем: .

Следовательно, , откуда .

Пример 2.

Выразить квадрат длины медианы треугольника через длины его сторон.

Решение. Рассмотрим в данном треугольнике ABC медиану BB₁. Введем обозначения: = , = , = ,

= . Тогда справедливо следующее равенство: = ().

Возведем обе части данного равенства в квадрат (скалярно):

 

(1)

Воспользуемся равенством:

.

После возведения обеих его частей скалярно в квадрат получим:

. (2)

Тогда из равенств (1) и (2) вытекает следующее равенство:

.

Учитывая следствие 1, последнее равенство можно записать следующим образом:

,

т.е.

, где , =|BC|, b=|AC|, =|AB|.

 

 

Пример 3.

Дан треугольник . Отрезок - его высота. Выразить вектор через векторы и .

Решение.

A

A

 

 

Так как векторы и неколлинеарные, то представляют собой базис двумерного векторного пространства. Введем обозначение: .

По правилу треугольника (1) и, при этом, (2).

Из равенства (1) и (2) получаем: (3).

Осталось найти число . Для этого используем ортогональность векторов и , откуда имеем: (4).

Из равенств (3) и (4) получаем: ,

т. е. или ,

откуда (5).

Учитывая, что , равенство (5) можно записать следующим образом: (6).

Тогда из равенств (3) и (6) находим вектор :

.

 

Для дальнейшего изложения нам необходимы некоторые сведения из курса алгебры.

Пример 1.

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и координаты следующих векторов в ортонормированном базисе: .

Найти: 1) объем параллелепипеда;

2) площади граней ABCD и CDD₁C;

3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD₁.

Решение.

1) Данный параллелепипед построен на векторах

Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.

(куб.ед.)

Итак, V_пар=12 куб.ед.

2) Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Т.о. .

Введем обозначение: ,тогда

 

Следовательно, , откуда

.

Т.о. кв.ед.

Аналогично,

Пусть , тогда

,

откуда и

Значит кв.ед.

3) Введем следующие обозначения: пл. (АВС)= , пл. (DCC₁)= .

.

Согласно определению векторного произведения имеем:

и .

А значит справедливо следующее равенство:

.

Из второго пункта решения имеем:

.

 

Пример 2.

Доказать, что если , , - взаимно перпендикулярные единичные векторы, то для любых векторов и справедливо равенство: (1).

Решение.

Пусть в ортонормированном базисе { , , } заданы координаты векторов: ; . Так как , , , то по свойству смешанного произведения имеем:

.

.

.

Таким образом, равенство (1) можно записать в следующей форме: , а это одно из доказанных свойств векторного произведения векторов и . Тем самым справедливость равенства (1) доказана.

 

 

Решение нулевого варианта

Контрольной работы

Задание № 1.

Вектор образует с базисными векторами и соответственно углы и . Определить угол, который образует вектор с вектором .

Решение.

Построим параллелепипед на векторах , , и диагональю , такой, что векторы и равны.

Тогда в прямоугольном треугольнике с прямым углом , величина угла равна , откуда .

Аналогично в прямоугольном треугольнике с прямым углом величина равна , откуда .

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора , но и , тогда .

В прямоугольном треугольнике с прямым углом катет , а гипотенуза . Значит, величина угла равна . Но угол равен углу между векторами и . Тем самым задача решена.

 

Задание № 2.

Заданы три вектора , , в базисе { , , }. Доказать, что четырехугольник - плоский, найти его площадь.

 

 

Решение.

1) Если векторы , и компланарные, то - плоский четырехугольник. Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов.

.

Так как определитель равен нулю, то векторы , и компланарные, а значит, четырехугольник - плоский.

2) Заметим, что , поэтому и , таким образом четырехугольник трапеция с основаниями АВ и CD.

 

C

D

 

 

Тогда . А по свойству векторного произведения , .

Так как , то

Так как , то

По одному из свойств векторного произведения имеем:

, откуда .

Значит .

, откуда .

Значит .

Тогда

Задание № 3. Найти вектор , коллинеарный вектору , у которого длина равна 5.

Решение.

Обозначим координаты вектора (х, у, z). Как известно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, и поэтому имеем:

х = 2t, y = t, z = − 2t.

По условию задачи | | = 5, а в координатной форме: . Выражая переменные через параметр t, получим: 4t² +t² +4t² =25 и t² = . Таким образом, t = ± и х = ± , у = ± , z = . Получили два решения: ₁ (; ; − ), ₂ (− ;− ; ).

 

 

Тест

Вариант 0.

А 1. Лучи [А, В) и [С, D), лежащие на одной прямой (А, В) называются сонаправленными, если

Вар. отв.: 1) они лежат в одной полуплоскости с границей (А,С);

2) их пересечением является луч; 3) они не пересекаются;

4) другой ответ.

А 2. Свойство лучей быть противоположно направленными

Вар. отв.: 1) транзитивно; 2) симметрично; 3) рефлексивно; 4) другой ответ

А 3. Вектором в пространстве мы называем

Вар. отв.: 1) отрезок; 2) направленный отрезок; 3) класс эквиполлентных направленных отрезков; 4; другой ответ.

А 4. Вычислить определитель: .

Вар. отв.: 1) 17; 2) 16; 3) –17; 4) 12.

А 5. Найти длину вектора (5, 4, 0).

Вар. отв.: 1) ; 2) ; 3) 9; 4) др.отв.

А 6. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?

Вар. отв.: 1) 5; 2) -4; 3) 10; 4) 4.

А 7. Найти сумму , если векторы и коллинеарные.

Вар. отв.: 1)6; 2) 18; 3) -6; 4) 0.

 

А 8. Если , то векторы и
1) сонаправлены; 2) противоположно направлены; 3) перпендикулярны, 4) равны.

А 9. Дано: . Модуль вектора равен
1) 1; 2) ; 3) , 4) 5.

А 10. Вычислить определитель: .
1) 1; 2) 3; 3) -1, 4) -3.

А 11. Найти векторное произведение векторов (0; -1; 1). (1; -1; 3)

Вар. отв.: 1) (-2; -1; 1); 2) (-2; 1; 1); 3) (2; 1; 2); 4) др.отв.

А 12. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и .
1) 30; 2) 15; 3) 60, 4) др.

А 13. Какая из следующих троек векторов является компланарной?
1) . 2) ;

3) ; 4) (1; –2; 1), (3; 2; 1), (1; 0; –1).

А 14. Найти вектор , перпендикулярный векторам и такой, что , и при этом тройка векторов - левая.

1) 2) 3) , 4) .

А 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

(1; –2; 1), (3; 2; 1) и (1; 0; –1).
1) 24; 2) 10; 3) 12.; 4) 0.

 

 

№

отв

 

Список литературы

1. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. - М.: Наука, 1990.

2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия. Ч. 1. - М.: Просвещение, 1986.

3. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Геометрия. - Ч. 1. - М.: Просвещение, 1974.

4. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Под ред. В.Т. Базылева. Сборник задач по геометрии. - М.: Просвещение, 1980.

5. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч.пособие. –М.:, 2003.

6. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие. –М.: Высшая школа, 2005.

7. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.- С. Петербург, 1997.

8. Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. - М.: Просвещение, 1973.

9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. –М., 2004. –464 с.

10. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. –.М.: Физматлит, 2003. –584 с.

11. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.1. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. –271 с.

12. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.2. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. –267 с.

13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. –М.: МГУ, 1980. –320 с.

14. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1964.

15. А.В. Погорелов. Геометрия. - М.: Наука, 1984.

16. О.Н. Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1966.

 

В.А.ДОЛЖЕНКОВ, Е.Г.СОЛОВЬЕВА

 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

	F

K

 

	A

 

 

Курск 2006

 

 

Составители

Виктор Анатольевич Долженков

Елена Георгиевна Соловьева

 

Элементы векторной алгебры

и ее методов

 

 

Учебно-методтческое пособие

 

 

Редактор И.Н.Никитина

 

Лицензия ИД № 06248 от 12.11.2001 г.

Подписано в печать 10.03.2006. Формат 60х84/16. Печать офсетная.

Усл.печ. л. 3. Тираж 50 экз. Заказ

 

Курский государственный университет

305000, г. Курск, ул. Радищева, 33

 

Отпечатано в лаборатории

информационно - методического

обеспечения КГУ

 

Курский государственный университет

Кафедра геометрии

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

§ 1