Задача 4. Плоский изгиб балки

 

Для консольной, либо шарнирно опёртой балки (см. схемы к задаче 4), нагруженной изгибающими моментами и поперечными нагрузками необходимо:

1. Определить опорные реакции.

2. Составить аналитические выражения для внутренних силовых факторов (поперечных сил и изгибающих моментов) на всех участков балки.

3. По полученным зависимостям построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

4. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры поперечных сечений балки для трёх вариантов:

а) двутавр;

б) круг;

в) прямоугольник, с соотношением сторон h/в=2.

Численные значения приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

№	Р1, кН	Р2, кН	q1, кН/м	q2, кН/м	М1, кНм	М2, кНм
	10	80	10	70	15	90
	20	70	15	80	25	80
	30	60	20	90	35	70
	40	50	25	60	45	50
	50	40	30	50	55	40
	60	30	35	40	65	30
	70	10	40	30	75	20
	80	20	45	20	85	50
	10	50	55	50	95	10
	20	70	65	20	90	30

 

Принять для всех балок следующие соотношения: а=1м; .

 

Схемы к задаче 4

 

Схемы к задаче 4

 

Пример решения задачи 4

 

Для балки работающей на изгиб (рис. 2.1,а) необходимо:

1. Определить значение поперечной силы Q и изгибающего момента М, построить соответствующие эпюры.

2. Подобрать размеры поперечного сечения балки из условия прочности по допускаемым напряжениям на изгиб для 3-ёх вариантов:

а) двутавра;

б) прямоугольного поперечного сечения со сторонами b и h при соотношении h/b=2;

в) круглого поперечного сечения.

Дано: М=10 кН×м; Р=10 кН; q₁=50кН/м; а=1м; в=1м; с=1м; .

 

Решение

 

1. Опорные реакции и (рис. 2.1,б) направим вверх. На балку не действуют горизонтальные силы, поэтому на опоре А будет только вертикальная реакция. Для определения реакций опор составим 2 уравнения равновесия:

 

Рис. 2.1 Схема и эпюры внутренних усилий к примеру решения задачи4

;

.

Из этих уравнений определим реакции и :

; .

После подстановки численных значений получим: кН; кН.

Дополнительное уравнение можно использовать для проверки полученного результата:

;

12,5+27,5-50+10=0;

2. В поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q.

При решении задачи используем правило знаков внутренних усилий: поперечная сила Q в сечении положительна, если равнодействующая внешних сил стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке относительно центра тяжести сечения.

Изгибающий момент М в сечении будем считать положительным, если балка изгибается таким образом, что растянутые волокна находятся в нижней части балки, а сжатые – в верней части.

Разобьём балку на 3 силовых участка. Границами участков являются сечения, к которым приложены сосредоточенные моменты и силы, а также конец и начало распределённой нагрузки.

Первый участок: .

Составим аналитические выражения для определения величины поперечной силы и момента, используя метод сечений и учитывая правило знаков.

;

Второй участок: .

Эпюрой изгибающего момента на 2-ом участке является квадратная парабола (рис.2.1,г). Поэтому для её построения надо знать координаты трёх точек: в начале, в конце участка и в точке, где эпюра имеет экстремум. Экстремум на параболе будет в том же сечении балки, в котором поперечная сила Q равна нулю. Расстояние до сечения, в котором на эпюре момента будет экстремум, обозначим через z₀. Значение z₀ найдём из следующего уравнения:

.

Подставим значение z₀ в уравнение для и найдём экстремум на параболе.

.

Третий участок: .

По найденным значениям Q и М строим эпюры поперечной силы (рис.4,в) и изгибающего момента (рис.2.1,г).

3. Из условия прочности балки по нормальным напряжениям подберём размеры поперечного сечения балки для 3-ёх вариантов.

Опасным сечением является сечение балки, проходящее через экстремум на параболе, т.к. в этом сечении будет наибольший изгибающий момент по абсолютной величине . Из условия прочности:

для стальной балки определим :

.

а) По найденному значению подберём номер двутавра по ГОСТ 8239-72. Ближайшая величина момента сопротивления , что соответствует двутавру № 18а.

б) Для прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления сечения имеет следующую зависимость: , при отношении h/b=2 будем иметь: , откуда высота сечения , а ширина сечения b=h/2=6,08 см.

в) Для круглого поперечного сечения момент сопротивления сечения следующий: .

Из этого выражения определим диаметр: .

Кручение вала

Кручением называется вид нагружения, при котором к брусу прикладываются внешние скручивающие моменты, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор - крутящий момент M_к.

Брусья, передающие крутящий момент называются валами.

Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. В местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного внешнего момента.

Условие прочности при кручении формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

.

Величина называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления сечения

Для сплошного круглого сечения

.

Для кольцевого сечения

, где .

Из условия прочности можно определить диаметр вала:

- для сплошного сечения

,

- для кольцевого сечения

,

Задача 5. Кручение вала

 

К стальному валу круглого поперечного сечения (см. схемы к задаче 5) приложены сосредоточенный момент М и распределённый момент m необходимо:

1. Составить аналитические выражения для определения внутреннего крутящего;

2. По полученным выражениям построить эпюру крутящего момента;

3. Из условия прочности по касательным напряжениям определить диаметр поперечного сечения;

4. Построить эпюру углов закручивания.

Численные значения приведены в таблице 3.1.

 

Схемы к задаче 5

 

Схемы к задаче 5

 

 

Таблица 3.1

№ варианта	М, кНм	m, кНм/м	а, м
	20	90	0,8
	40	70	0,9
	50	60	1
	60	50	1,1
	70	10	1,2
	80	20	0,5
	10	70	0,8
	20	60	0,7
	50	70	1,3
	30	80	1

Принять для всех валов следующие соотношения: , .

 

Пример решения задачи 5

 

Для стального вала круглого поперечного сечения (рис. 3.1,а) необходимо:

1. Построить эпюру крутящего момента;

2. Из условия прочности по касательным напряжениям определить диаметр поперечного сечения и построить эпюру углов закручивания.

Дано: М=50кНм; m=10кНм/м; а=1м;

Решение

1. Для определения внутренних усилий в стержне пользуются методом сечений. Для этого стержень рассекают плоскостью в произвольном сечении z. Влияние любой из отброшенных частей стержня можно заменить только одним внутренним усилием – крутящим моментом . Для его определения составляют уравнение равновесия оставшейся части. Таким образом, крутящий момент определяется как сумма скручивающих нагрузок приложенных к одной из его частей. Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он стремится повернуть оставшуюся часть стержня против хода часовой стрелки.

Пользуясь методом сечений, составим аналитические уравнения для определения крутящего момента:

Участок 1

;

 

Участок 2

;

 

Участок 3

 

По найденным значениям строим эпюру крутящего момента (рис.3.1,б).

2. Из условия прочности по касательным напряжениям найдём диаметр поперечного сечения вала:

;

где - максимальный крутящий момент по модулю;

- полярный момент сопротивления круглого сечения.

Подставляя полярный момент сопротивления в условие прочности, будем иметь:

,

Рис. 3.1 Схема к примеру решения задачи5

 

отсюда найдём диаметр вала:

 

.

 

3. Зная диаметр вала, найдём углы закручивания по следующей формуле:

 

,

где - полярный момент инерции.

Определим углы закручивания в точках А, В, С и Д идя от заделки (рис.3.1,а):

;

 

 

 

 

По найденным значениям строим эпюру углов закручивания (рис. 3.1,в).