Время улыбаться и время печалиться

 

Нелинейность бывает двух видов: вогнутая (обращенная внутрь), как в примере с царем и камнем, и выпуклая (обращенная вовне). Встречаются, конечно, и смешанные, выпукло-вогнутые случаи.

На рисунках 10 и 11 показана упрощенная нелинейность: выпуклость и вогнутость похожи соответственно на улыбающееся и грустное лицо.

 

 

^{Рис. 10. Два типа нелинейности, выпуклая (слева) и вогнутая (справа). Выпуклая дуга выгибается по направлению вовне, вогнутая – внутрь.}

 

 

^{Рис. 11. Улыбайтесь! Лучший способ понять выпуклость и вогнутость. То, что выгнуто вовне, выглядит как улыбка, а то, что выгнуто внутрь, кажется грустным лицом. Выпуклое (слева) антихрупко, вогнутое (справа) хрупко (страдает от эффекта негативной выпуклости).}

 

Чтобы упростить рассуждения, я использую термин «эффект выпуклости» для обоих случаев: в одном случае это «эффект позитивной выпуклости», в другом – «эффект негативной выпуклости».

Почему асимметрия сводится к выпуклости и вогнутости? Это просто: если для данной вариации приобретения больше, чем потери, и вы нарисуете ее график, он будет выпуклым; обратный график будет вогнутым. На рис. 12 показана асимметрия, выраженная в терминах нелинейности. Там очевиден и волшебный эффект математики, позволяющий одним графиком охватить татарский бифштекс, предпринимательство и финансовый риск: выпуклый график превращается в вогнутый, когда перед формулой ставишь знак «минус». Например, от некоей сделки Жирный Тони и какой-нибудь банк или фонд получают обратные результаты: Тони зарабатывает доллар всякий раз, когда банк его теряет, и наоборот. По большому счету прибыль и убыток – зеркальные отражения друг друга, только где у одного плюс, там у другого минус.

Рисунок 12 также демонстрирует, почему выпуклое любит переменчивость. Если на переменах вы больше зарабатываете, чем теряете, вам будет хотеться перемен.

 

 

^{Рис. 12. Больше трудов, чем плодов, или больше плодов, чем трудов. Предположим, вы начинаете движение из точки «вы здесь». В первом случае при увеличении переменной «х», то есть при движении вправо по горизонтальной оси, приобретения (вертикальная ось) будут больше, чем потери при движении влево, иными словами, при эквивалентном уменьшении переменной «х». Рисунок демонстрирует, как позитивная асимметрия (график слева) преобразуется в выпуклую (выгнутую внутрь) кривую, а негативная асимметрия (график справа) – в вогнутую (выгнутую вовне) кривую. Повторим: при эквивалентных изменениях переменной в обоих направлениях выпуклость дает больше, чем отбирает, а вогнутость – наоборот.}

 

Почему вогнутое больше страдает от Черных лебедей?

 

Пришло время для идеи, которая жила во мне всю мою жизнь, – я и представить себе не мог, что она станет настолько ясной, если придать ей графическую форму. На рис. 13 показано, как вред связан с непредвиденными событиями. Чем более вогнутую форму имеет чувствительность объекта, тем больше вредит ему непредвиденное, причем непропорционально: чем больше отклонение, тем масштабнее и масштабнее воздействие.

 

 

^{Рис. 13. Два примера уязвимости, один линейный, другой нелинейный: на графике слева – с негативной выпуклостью, иначе говоря, вогнутый; на графике справа – с позитивной выпуклостью. Непредвиденное событие воздействует на обладающий нелинейной уязвимостью объект все больше и больше. Чем масштабнее событие, тем больше разница.}

 

Применим этот очень простой метод для распознавания хрупкости и определения столбца Триады.

 

 

Пробки в Нью-Йорке

 

Попробуем разглядеть «эффект выпуклости» в окружающих нас объектах. Дорожная пробка – явление весьма нелинейное. Когда я днем лечу из Нью-Йорка в Лондон и выезжаю из дома около пяти часов утра (да, я все понимаю), мне хватает 26 минут, чтобы доехать до терминала British Air в аэропорту Кеннеди. В это время Нью-Йорк пуст, это жуткий город, совсем не похожий на Нью-Йорк. Если я выезжаю в шесть утра (на более поздний рейс), времени уходит почти столько же, хотя трафик чуть более плотный. Машины, выезжающие на шоссе, не оказывают никакого или почти никакого влияния на движение.

Вдруг случается загадочное явление: число машин увеличивается на 10 процентов, а поездка удлиняется в полтора раза (на 50 процентов; цифры приблизительные). Вот как функционирует выпуклость: среднее число машин на дороге никак не связано со скоростью движения. Если за один час по шоссе проедут 90 тысяч машин, а за другой – 110 тысяч, движение замедлится куда больше, чем если два часа подряд по шоссе будет проезжать по 100 тысяч машин в час. При этом время поездки – величина негативная, это расходная статья, и чем она больше, тем больше причиняемый мне ущерб.

Таким образом, расходы на поездку хрупки в отношении переменчивости числа автомобилей на шоссе; от их среднего числа они зависят не слишком сильно. Каждая новая машина удлиняет время поездки больше, чем предыдущая.

На этом примере ясно, какова главная мировая проблема современности: люди, занятые увеличением «эффективности» и «оптимизацией» систем, не понимают, что такое нелинейная реакция. Скажем, европейские аэропорты и железные дороги работают очень плотно, они, как может показаться, сверхэффективны. Они функционируют на пределе возможностей, их штат не избыточен, у них почти нет резервов, оттого они предлагают билеты по приемлемым ценам; однако малейший затор, например минимальное отставание от графика, из-за которого в небе окажется на пять процентов больше самолетов, может вылиться в хаос – и вот уже несчастные пассажиры спят на полу, а их единственным утешителем становится бородач, горланящий французские народные песни под гитару.

Эта концепция работает в самых разных областях экономики: центробанки печатают деньги; они вновь и вновь запускают печатный станок, но ничего не добиваются (и утверждают, что эта мера «безопасна»), после чего «внезапно» напечатанные банкноты вызывают всплеск инфляции. В экономике результаты сплошь и рядом аннулируются из-за выпуклости – и хорошая новость заключается в том, что нам известно, почему это происходит. Увы, методы (и культура) тех, кто определяет экономическую политику, базируются на абсолютно линейных представлениях, и в результате скрытые эффекты попросту игнорируются. В таких случаях эти люди говорят о «приблизительности». Если вы слышите об эффекте «второго порядка», знайте, что приблизительные расчеты оказались неверными, потому что выпуклость вступила в свои права.

На рис. 14 приведен (очень гипотетический) график, связывающий расходы на поездку с количеством машин на дорогах. Заметим, как именно изгибается график. Он выгнут внутрь.

 

 

^{Рис. 14. График демонстрирует, что время поездки автора в аэропорт Кеннеди (и расходы на нее) после определенной точки нелинейно связаны с количеством машин на шоссе. Расходы на поездку обозначены кривой, которая изгибается внутрь, то есть вогнута, – а это нехорошо.}