Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-07-01 | 333 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Численное дифференцирование функций.
Уточнение методами Ромберга и Эйткена.
Выполнила: студент гр.МКН-206
Тимергалин Р.Д
Проверила: доцент кафедры КМ
Зиннатуллина О.Р.
Уфа 2011
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………3
Программная реализация метода………………………………………8
Оценка погрешности результата………………………………………12
Заключение……………………………………………………………...21
Список литературы……………………………………………………..22
ВВЕДЕНИЕ
Численное дифференцирование функций
Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x. Тогда значение производной определяется следующими пределами [1]
. (1)
Вычисление первой производной
Для вычисления производной необходимо проведение ряда операций. Можно вычислять значения функции и проводить с ними арифметические действия. Но мы не можем вычислять пределы, поскольку это требует бесконечных затрат ресурсов (времени, памяти и т.д.). Получим приближенные формулы:
. (2)
Пусть - шаг разбиения. Введем обозначение и т.д. Тогда (2) можно переписать в виде
. (3)
Первое из этих трех отношений носит название правой разностной производной, второе – левой, третье – центральной разностной производной.
Вычисление второй производной
Для приближенного вычисления второй производной в качестве примера используем формулу [1]
, (4)
где определяется по формуле (3).
Отметим, что значения правой и левой разностных производных в точке одновременно являются центральными разностными производными и , рассчитанными соответственно в точках и (см. рис. 1).
Рис 1. Схема численного дифференцирования
|
Тогда
. (5)
Численная фильтрация
При экстраполяции требуется априорное знание характера зависимости результата расчетов от числа узлов (или математической модели погрешности), например
, (6)
где – точное значение; – приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном n; – коэффициенты, которые предполагаются не зависящими от n; – величина, полагаемая малой по сравнению с при тех значениях n, которые использовались в данных конкретных расчетах, k 1,…, kL – произвольные действительные числа (предполагается, что k 1< k 2<…< < kL).
В математическом анализе обычно оценивается только первый член, поскольку остальные являются асимптотически (при n ®¥) бесконечно малыми более высокого порядка. Однако для конечных n остальные слагаемые могут вносить существенный вклад и должны приниматься во внимание.
Если решение задачи представляет собой функцию с несколькими непрерывными производными, то можно допустить возможность его разложения по формуле Тейлора, тогда – это часть ряда натуральных чисел. Тогда к задаче нахождения предельного при значения z можно подойти как к задаче интерполяции зависимости от параметра алгебраическим многочленом с последующей экстраполяцией до . Есть и другой подход, приводящий при условии постоянства к тому же алгоритму, но не требующий целочисленности . Это решение задачи численной фильтрации, т.е. последовательное устранение степенных слагаемых суммы (6) при сохранении значения константы z. Рассмотрим два значения , , вычисленные при числе узлов, равном и соответственно. Составим линейную комбинацию
и потребуем, чтобы, суммарный коэффициент при z был равен 1, а при (для определенного j) равен 0. Отсюда получим формулу фильтрации, которая совпадает с экстраполяционной формулой Ричардсона [1]
. (7)
Проводя последовательно экстраполяцию по всем парам соседних значений, получим отфильтрованную зависимость, не содержащую члена с
|
, (8)
где . (9)
Заметим, что отфильтрованная последовательность содержит на один член меньше, чем исходная. Если она содержит больше одного члена, то ее также можно отфильтровать, устранив степенную составляющую с . Операции фильтрации можно повторять последовательно для ,…, , если исходная последовательность содержит достаточное количество членов. Результаты экстраполяций удобно представлять в виде треугольной матрицы
(10)
Применение повторной экстраполяции при kj = j известно под названием метода Ромберга. При его применении возникает ряд ограничений.
Применение повторной экстраполяции приводит к изменению коэффициентов суммы (6). При увеличение абсолютной величины коэффициентов может оказаться весьма существенным. Это ограничивает число возможных экстраполяций.
Величина в (6) может оказаться суммой регулярной составляющей, имеющей вид , и нерегулярной составляющей , обусловленной погрешностью исходных данных, которая, например, связана с ограниченной разрядностью чисел в машинном представлении. Тогда исходная нерегулярная часть погрешности, содержащаяся в вычисленных значениях , при каждой экстраполяции умножается на коэффициент
.
Для метода Ромберга, применяемого к последовательности (6) при , произведение таких множителей ограничено числом, приблизительно равным 8 (получено численно), т.е. метод Ромберга является устойчивым к погрешности исходных данных, но сам уровень нерегулярной погрешности может ограничить число возможных экстраполяций.
Процесс Эйткена
При оценке погрешности частичных сумм значение k в (2.4) может быть неизвестно. В этом случае можно использовать следующую модификацию правила Ричардсона. Вычислим три значения z 1, z 2, z 3 при трех номерах последовательности: n, nQ, nQ 2 и составим систему трех уравнений [1, 9]
(11)
Найдем разности
,
,
и, разделив одну на другую, определим Qk
. (12)
Теперь можно найти z
. (13)
Как и в рассмотренных ранее случаях, мы нашли экстраполированное (уточненное) значение z = z *, а вместе с ним и оценку погрешности zi - z *.
Этот способ экстраполяции при неизвестном порядке точности принято называть алгоритмом Эйткена или d2-алгоритмом, который в более общем случае применяется для экстраполяции векторных последовательностей
.
В последнем выражении zi – векторы, а скобками обозначается скалярное произведение.
|
Критерий размытости оценки
Оценка погрешности по правилу Рунге сводится к сравнению значения zn с экстраполированным значением . Поскольку эта оценка справедлива при допущении, что величина точнее, чем zn, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом. Повторим процесс экстраполяции и получим значение . Разность представляет собой оценку погрешности приближенного значения zn.. Разность является оценкой погрешности экстраполированного значения или оценкой погрешности оценки погрешности (рис. 10). Отношение имеет смысл относительной размытости оценки погрешности.
Если , то это означает, что относительная размытость оценки мала, и такой оценке можно доверять.
Рис. 10. Размытость оценки погрешности
Пусть оценка погрешности представляется в виде интервала . Для определения порогового значения d n для принятия или отклонения полученной оценки желательно на основании имеющейся информации установить, не может ли при гипотетическом продолжении экстраполяций произойти переход получающихся значений левее или правее . Для этого предположим, что при последующих гипотетических экстраполяциях значение , как коэффициента уменьшения расстояния между соседними экстраполированными значениями, будет сохраняться: . Тогда предельное удаление предельного значения от определяется суммой геометрической прогрессии . Отсюда следует неравенство
, (14)
где K ³1 – коэффициент «запаса» надежности оценки. Необходимость введения коэффициента K вызвано желанием получать достаточно надежные оценки в условиях неопределенности, вызванной влиянием нерегулярных составляющих погрешности. Тогда получим условие (критерий принятия оценки)
.
Примем величину K =2. Тогда пороговое значение , тогда при оценка принимается, а при отвергается. Это же значение было получено эмпирически при анализе реальных численных данных [9].
Заключение
В результате выполненной работы “численное дифференцирование методом левой, правой и центрально-разностной формулами“ были получены следующие результаты. Были вычислены погрешности по методу Ромберга и Эйткена, и получены следующие графики.
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 2004. -636 с.
2. Самарский А.А. Численные методы математической физики.-М.: Научный мир, 2000.-316с.:
3. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам.-М.: Эдиториал УРСС, 2000.-208с
4. Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов.-2-е изд., испр..-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.-320 с.;
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. I, II. -М.: Наука, 1987. -600 с.
6. Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб.пособие.-М.: Финансы и статистика, 2001.-256с.
7. Подвальный С. Л. Численные методы и вычислительный эксперимент: учебное пособие для вузов / С. Л. Подвальный, Л. В. Холопкина, Д. В. Попов; УГАТУ; Воронеж. гос. техн. ун-т.-Уфа: УГАТУ, 2005.-224 с.; 21 см.-Библиогр.: с. 220-224 (49 назв.).-ISBN 5-86911-491-8.
8. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Учебное пособие. -Уфа: УГАТУ, 2002. -91 с.
9. Smith D.A., Ford W.F. Acceleration of linear and logarithmic convergence. – SIAM J. Numer. Anal., 1979, v. 16. -P. 223-240.
10. Smith D. A., Ford W. F. Numerical comparisons of non-linear convergence accelerations. – Mathematics of Computation, 1982, v. 38, 158. -P. 481–499.
11. Прудников А. П. Интегралы и ряды. В 3-х т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
Численное дифференцирование функций.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!