Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-06-29 | 785 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение. Максимальная линейно независимая подсистема S’ системы векторов S называется базисом системы S.
Ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая подсистема n-мерного пространства состоит из n векторов. Отсюда можно сделать выводы:
1) базис любой системы векторов пространства Rn всегда содержит не более чем n векторов;
2) в любой системе векторов может содержаться несколько базисов, однако число векторов в каждом базисе одно и тоже;
3) любой базис пространства Rn содержит n векторов;
4) любая линейно независимая система из n векторов является базисом пространства Rn.
Из всех доказанных выше результатов можно сделать следующие выводы:
1) в n-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из n векторов, будет максимальной;
2) любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из n векторов;
3) всякая линейно независимая система n-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе;
4) в n-мерном пространстве существует бесконечно много различных максимально линейно независимых систем векторов.
Определение. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы векторов.
Теорема. Система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.
Доказательство.
Пусть — базис . Тогда по определению — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации , т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов
Значит, базис — максимальная линейно независимая система.
Пусть — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:
т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.
Теорема (о ранге системы векторов). Ранг системы векторов не изменится, если к ней добавить (или удалить) вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.
Сформулировать и доказать критерий совместности системы линейных уравнений.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.
Теорема Кронекера-Капелли.
Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство теоремы.
Необходимость. Система совместна. Докажем, что .
Система совместна — существуют такие числа ,что
т.е. вектор-столбец правой части линейно выражается через столбцы матрицы A. Это означает, что при добавлении столбца число линейно независимых столбцов не увеличивается, т.е. . Необходимость доказана.
Достаточность. . Докажем, что система совместна.
Пусть . Это означает, что среди столбцов обеих матриц есть r линейно независимых столбцов, а все остальные линейно выражаются через эти r столбцов. Не умаляя общности, положим, что линейно независимы первые r столбцов . Тогда столбцы — линейно зависимы и, следовательно, столбец линейно выражается через : .
Положим ,
тогда
т.е. вектор — решение системы ,
т.е. система совместна. Теорема доказана.
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!