Потенциальная энергия частицы в поле.

В стационарном поле работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения частицы. Представим такое поле, где частица перемещается от разных точек Pi в точку О. Работа сил не зависит от пути, поэтому зависит только от положения точки Р. à Работа будет некоторой ф-ей радиус-вектора r точки Р. Эта ф-я будет обозначатся как U(r):

 

Найдем работу при перемещении точки из 1 в 2. Т.к. она не зависит от пути, то выберем путь через точку О, тогда:

или

Выражение справа (U₁-U₂) есть убыль потенциальной энергии или разность значение Еп в начальной и конечной точках пути. Таким образом, работа сил на пути 1-2 равна убыли потенциальной энергии.

Связь между потенциальной энергией и силой.

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы F, действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии Eп.

Для установления связи вычислим элементарную работу dA, совершаемую силами поля при малом перемещении dr тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой r. Эта работа равна

dA=Fdr= - dEп

где F- проекция силы на направление r. Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии Eп, она равна разности потенциальной энергии –dЕп на отрезке оси. А отсюда получаем:

F= -dEп/dr;

Если разложить F по осям, то:

В векторном виде сила равна (grad – градиент):

Градиент – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения ф-и. “-“ показывает то, что вектор F направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения Eп.

à Консервативная сила равна отрицательному градиенту Eп:

Билет 15

Полная механическая энергия частицы – энергия механического движения и взаимодействия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий: E = Ek + Ep.

Док-во:

Приращение Ек или Т равно элементарно работе результирующей F_рез всех сил. В стационарном поле это консервативная сила этого поля F_конс и иные силы F_стор. à F_рез = F_конс + F_стор. Робота этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:

Т.к. работа равна убыли потенциальной энергии А_конс = - ΔU, то подставив это в выражение, после преобразований получим:

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины T+U, что и есть полная механическая энергия.

Закон сохранения.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно:

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

 

Билет 16

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы. Обозначается как Ек или Т.

Теорема о кинетической энергии системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Док-во теоремы:

Рассмотрим систему материальных точек с массами m_i, скоростями v_i и кинетическими энергиями Ti=1/2(m_iv_i²). Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени dt будет выполняться:

Учитывая, что dv_i/dt представляет собой ускорение i-ой точки - a_i, а dv_i/dt— перемещение s_i той же точки за время dt, полученное выражение можно записать в виде:

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как F_i получаем:

, F_ids_i есть работа А à

 

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

где T₂ и Т₁ — значения кинетической энергии системы в моменты времени t₂ и t₁ cсоответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но внутренних сил.

Собственная потенциальная энергия системы - механическая энергия системы тел, которая определяется характером сил взаимодействия между телами этой системы и их взаимным расположением.

Рассмотрим систему, между частицами которой действуют лишь центральные силы. Центральные силы – силы, зависящие от расстояния между частицами и направленные по прямой, проходящий через эти частицы (граф. инт. в Вопросе 11).

Покажем, что независимо от системы отсчета работа внутренних сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой ф-и, которая зависит только от расположения частиц в системе, т.е. от конфигурации. Эта ф-я и является собственной потенциальной энергией системы.

Сначала возьмем систему из двух частиц. Работа в К-системе отсчета за время dt будет выглядеть как:

Согласно Третьему закону Ньютона F₂=-F₁, тогда:

Величина в скобках представляет собой перемещение частицы 1 относительно частицы 2. Вспомним принцип относительности Галилея (вопрос 8), тогда частица 1 перемещается в K’ системе, которая жестко связана с частицей два и перемещается вместе с ней относительно исходной системы K. à dr₁ = dr₂+dr’_1, dr1-dr2=dr’1 и:

ß Алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной К-системе оказывается равной элементарной работе, которую совершает сила, действующая на одну частицу, в к системе отсчета, где другая покоится. à А_1,2 не зависит от выбранной системы отсчета.
F1 действующая на частицу 1 со стороны частицы 2 центральная, а значит консервативная. Поэтому является убылью потенциальной энергии 1 в поле частицы 2 или как:

Рассмотрим систему из 3-ех частиц. По тому же принципу:

т.к,то , где U_соб – собственная потенциальная энергия системы. Uсоб будет завесить от конфигурации системы.

Данное утверждение абсолютно для любого числа частиц, поэтому каждой конфигурации системы частиц присуще свое значение Еп_собст и работа всех внутренних центральных сил при изменении конфигурации есть убыль Еп_собст:

А теперь фокус-покус блять. Uсобст не является сумме собственных потенциальных энергий ее частей т.к.

 

 

Преобразуем представив каждое слагаемое в виде (Uik = U_ik+U_ki)/2 т.к U_ik=U_ki, тогда:

, а после группировки по индексам

, что есть ничто иное как

, а в общем виде

Классификация сил. По характеру взаимодействия:

Массовые (объёмные) силы обусловлены взаимодействием материальных тел на расстоянии, они приложены к каждой точке тела (распределены по всему его объёму). К массовым силам относятся силы гравитационного и электромагнитного взаимодействия. Обычно из чисто формальных соображений к ним добавляют силы инерции (для сил инерции невозможно указать конкретный материальный источник).

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом взаимодействия материальных тел при непосредственном контакте. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные силы подразделяются на сосредоточенные и распределённые. К первым относятся нагрузки, площадь приложения которых несоизмеримо меньше площади поверхности тела. Таковыми являются, например, сила нормального давления P и сила трения T между колесом тележки и подкрановой балки, а также силы взаимодействия балки с опорами.

Билет 17

Преобразования Лоренца − преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. (Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, движущаяся прямолинейно с постоянной скоростью v).

Если инерциальная система отсчёта K' движется относительно инерциальной системы отсчёта K с постоянной скоростью v вдоль оси x, то преобразования Лоренца имеют вид

y = y', z = z',

c - скорость света в вакууме, β = v/c. Формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t получаются из соотношения (1) заменой v на -v.

Рис. Система координат K' движется относительно неподвижной системы координат K со скоростью v вдоль оси x.

 

При v < c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея: x = x' + vt, y = y', z = z', t = t'.

Формулы преобразования скорости:

Сложение скоростей

Тело движется в системе K’, которая сама движется относительно системы K. Скорость движения этого теля относительно неподвижной системы отсчёта K равна веЛакторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета K’ и скорости той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится тело (относительно неподвижной системы).

 

Длина стержня в системе К:

Из преобразований Лоренца:

,т.о.:

Линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой тело покоится.