Границы применимости классической механики

Вопрос 1

Физика - Наука, изучающая общие свойства материального мира, свойства и строение материи, формы ее движения и изменения.

 

Материя - физическое понятие, связанное с любыми объектами, существующими в природе, о которых можно судить благодаря ощущениям. Физика описывает материю как нечто, существующее в пространстве и во времени; либо как нечто, само задающее свойства пространства и времени. Изменения во времени, происходящие с различными формами материи, составляют физические явления. Основной задачей физики является описание свойств тех или иных видов материи.

 

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Раздел механики, описывающий геометрические свойства движения без учёта причин, его вызывающих, называется кинематикой.

 

Границы применимости классической механики

В настоящее время известно три типа ситуаций, в которых классическая механика перестаёт отражать реальность

· Свойства микромира не могут быть поняты в рамках классической механики. В частности, в сочетании с термодинамикой она порождает ряд противоречий. Другими словами, для описания свойств атомов и субатомных частиц является квантовая механика.

· При скоростях, близких к скорости света, классическая механика также перестаёт работать, и необходимо переходить к специальной теории относительности.

· Классическая механика становится неэффективной при рассмотрении систем с очень большим числом частиц (или же большим числом степеней свободы). В этом случае практически целесообразно переходить к статистической физике.

Кинематика — раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость), без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.)

 

(1)Система отсчёта — это совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение каких-либо тел.

(2)Система отсчет – это совокупность тела отсчета, связанных с ним координат и синхронизированных между собой часов.

Математическое движение тела (или материальной точки) по отношению к выбранной системе отсчёта описывается уравнениями, которые устанавливают, как изменяются с течением времени t координаты, определяющие положение тела (точки) в этой системе отсчёта. Эти уравнения называются уравнениями движения. Например, в декартовых координатах х, y, z движение точки определяется уравнениями

x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t)

 

Материальная точка (частица) — простейшая физическая модель в механике — обладающее массой тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки

Поступательным движение называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения абсолютно твердого тела сводится к изучению движения любой его точки.

 

Вращательное движение - Движение абсолютно твердого тела, при котором две его точки А и B остаются неподвижными, называется вращением (вращательнымдвижением) вокруг неподвижной прямой АВ, называемой осью вращения. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости - перпендикулярны к ней. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, обладает одной степенью свободы: его положение полностью определяется заданием угла f поворота из некоторого начального положения.

 

Вопрос 2

Радиус-вектор - вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

 

Перемещение - вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. По сути перемещение – это сумма двух радиус-векторов, конечного и начального.

Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt, за который произошло это перемещение. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения . Средняя скорость определяется по формуле:

Мгновенная скорость (скорость в данный момент времени) –физическая величина, равная пределу к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Модуль вектора скорости равен отношению приращения длины пути к соответствующему промежутку времени: (длина вектора). ß сомнительное определение, подтверждения ему не нашел, на лекция было то что ниже

Через декартовую систему координат:

, где и т.д

 

Кинематическое описание движения материальной точки. Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. В декартовой системе координат положение материальной точки A в определенный момент времени, задается тремя координатами X,Y,Z или радиус-вектором , проведенным из начала координат O в данную точку A. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Кинематические уравнения движения материальной точки можно записать в скалярном виде: x=x(t), y=y(t), z=z(t)

или в векторной форме:

, модуль радиус-вектора

Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.

Путь – скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени.

Вопрос 3

Ускорение – физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела, то есть первая производная от скорости по времени. Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени:

(формула в вопросе №2)

*можно поумничать* Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:

 

Равномерное прямолинейное движение − это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью, при котором материальная точка совершает равные перемещения за равные промежутки времени. При прямолинейном движении траектория является прямой линией. Если направить ось X вдоль траектории, то проекции перемещения и скорости на оси Y, Z равны нулю и зависимости координаты х и модуля перемещения (в данном случае − пути) от времени для этого типа движения имеют вид: x = x₀ + v_хt = x₀ + vt

Равноускоренное прямолинейное движение — это такое движение, при котором скорость тела за равные промежутки времени изменяется одинаково, другими словами, это движение с постоянным ускорением.

Ускорение a=const (по модулю и по направлению).

Скорость тела меняется по закону v=v₀+at

Закон движения в случае равноускоренного

движения имеет вид:

При движении точки М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид функциональной зависимости от времени всех трех её координат: ; ; , либо зависимость радиуса-вектора ;.

Эти уравнения называются кинетическими уравнениями движения точки

Вопрос 4

Ускорение в декартовой системе координат: , проекции и ускорения на оси декартовой системы координат будут , составляющие ускорения, параллельные осям координат, определятся как , а численное значение ускорения будет равно: . Проекцию ускорения на ось, совпадающую по направлению с вектором скорости. для определения характера движения точки (т.е. ускоренно или замедленно она движется) можно в данном случае найти, в виде:

.

Равноускоренное движение - движение с постоянным ускорением (a = const); движение, при котором за равные промежутки времени скорость меняется одинаково (по величине и направлению).

Полное, тангенциальное и нормальное ускорения. При криволинейном движении полное ускорение материальной точки раскладывается на две составляющих: нормальное ускорение и тангенциальное ускорение .
, ., а – полное ускорение.

(1)Тангенциальное ускорение - ускорение, направленное параллельно мгновенной скорости и изменяющее ее по величине

(2)Тангенциальное (касательное) ускорение – компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты, характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

, согласно вики
Величина тангенциального ускорения связана с величиной углового ускорения соотношением:

, где — радиус траектории.

 

Нормальное ускорение (центростремительное ускорение) — компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной. Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой.

. R – радиус кривизны.

Радиус кривизны — величина, обратная кривизне. Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.

Радиус кривизны определяется для конкретной точки конкретной кривой он равняется радиусу соприкасающейся окружности.

Вопрос 5

Вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

 

Связь мгновенной угловой скорости ω связана с угловым ускорением ε:

ω = ε*t

 

Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с). Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const, то вращение называется равномерным.

При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т –временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π (360 градусов):

 

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

Откуда

Связь между линейной и угловой скоростями. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

 

Так как , то

 

Модуль ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

 

Следовательно,

 

Вопрос 6

Динамика — раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения.

Инерция — свойство тел оставаться в некоторых системах отсчёта в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствии или при взаимной компенсации внешних воздействий.

Инерциальная система отсчёта — система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно (вдоль одной прямой) и равномерно (с постоянной скоростью).

(1)Первый закон Ньютона – В инерциальной системе отсчета скорость тела = const, если на тело не действуют силы (другие тела) или сумма этих сил = 0. В неинерциальной системе отсчета 1 закон Ньютона не выполняется.

(2) Первый закон Ньютона - существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инертность — свойство тела в большей или меньшей степени препятствовать изменению своей скорости относительно инерциальной системы отсчёта при воздействии на него внешних сил.

Масса - мера инертности тела (сопротивления воздействию).

Свойства массы:

1) Величина аддитивная (т.е. сумма системы = сумме масс, её составляющих)

2) Масса тела постоянна. (т.е. не изменяется при движении)

Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой воздействия на данное тело других тел

Равнодействующая сила – это сила, действие которой заменяет действие всех сил, приложенных к телу. Или, другими словами, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна векторной сумме этих сил.

Вопрос 7

Динамика - раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения. Динамика оперирует такими понятиями, как масса, сила, импульс, энергия. Динамика - количественное описание взаимодействия тел, определяющего характер их движения.

Сила - это физическая величина, характеризующая изменение скорости движения тела. Она носит векторный характер, т. е. выражается вектором. Иначе сила - это скорость изменения импульса тела F = dP / dt, P = mv - импульс тела, m - масса тела, v - скорость, с которой движется тело.

Если на данное тело действует одновременно несколько сил, то их действие на движение тела можно заменить действием одной силы). Такую замену называют сложением сил. Данные силы называют слагающими или составляющими, а заменяющую их силу — их суммой или равнодействующей. Равнодействующая уравновешивающихся сил, например, двух сил, равных по величине и противоположных по направлению, равна нулю.

(1)Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

(2)Второй закон Ньютона В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

F= ma.

a – ускорение материальной точки; F - равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке; m - масса материальной точки.

Третий закон Ньютона. Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Основное уравнение динамики материальной точки в случае,

когда на точку действуют n сил, имеет вид:

 

Вопрос 9

Принцип относительности Галилея: Механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т. е. описывающие их законы динамики одинаковы. Поэтому все инерциальные системы отсчета равноправны.

Это значит, что уравнения, выражающие законы механики, не меняются при преобразованиях Галилея.

Преобразования Галилея заключаются в преобразовании координат и времени t движущейся материальной точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

Для координаты x это выражается так:

Здесь и - радиус-векторы, и - координаты точки в двух инерциальных системах отсчета, а υ – относительная скорость движения этих двух инерциальных систем отсчета. Время не изменяется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

В любой последующий момент времени положение некоторой точки А, движущейся относительно обеих систем координат, определяется в системе K радиус-вектором , а в системе K´ - радиус-вектором . Вектор, соединяющий начало координат О неподвижной системы координат с началом коорди­нат О´ подвижной системы, равен вектору переме­щения системы K´ относительно K: . Согласно правилу сложения векторов, . Выразив вектор перемещения через скорость движения системы K´ относительно K, получим . Исходя из этого,

Из этого уравнения вытекает закон сложения скоростей:

где - скорости точки относительно систем K и K´ соответственно.

 

Галилей на основании наблюдений сформулировал классический принцип относи­тельности, согласно которому законы механики одинаковы в любых инерциальных системах отсчета. То есть, уравнения движения относительно любых инерциальных систем совпадают друг с другом. Это значит, что уравнение ma = F эквивалентно уравнению m´a´ = F´.

Из принципа Галилея следует, что F = F´, т. е. силы, действующие на точку, неизменны при переходе от одной инерциальной системы к другой, также инерциальной системе.

Следовательно, все величины, входящие в уравнение Ньютона, не изменяются при преобразовании от одной инерциальной системы к другой инерциальной системе.

Вопрос 9

Вес − это сила, с которой любое тело вследствие притяжения Земли действует на опору или подвес.

Вес тела − векторная физическая величина, которую обозначают буквой P. Вес покоящегося, а также равномерно и прямолинейно движущегося (относительно Земли) тела по своему численному значению равен действующей на него силе тяжести:

P=Fт=mg

где m − масса, g − ускорение свободного падения.

Сила тяжести — сила, действующая на любое материальное тело, находящееся вблизи поверхности Земли или другого астрономического тела.

По определению, сила тяжести на поверхности планеты складывается из гравитационного притяжения планеты и центробежной силы инерции, вызванной суточным вращением планеты.

Вес и сила тяжести приложены к разным объектам: вес P приложен к опоре или подвесу, а сила тяжести Fт − к телу.

Вес и сила тяжести имеют различную физическую природу. Сила тяжести возникает вследствие взаимодействия тела и Земли. Вес тела возникает в результате взаимодействия тела и опоры (подвеса). Опора (подвес) при этом деформируется, что приводит к появлению силы упругости. Из третьего закона Ньютона следует, что вес тела, то есть сила, с которой тело давит на опору (или растягивает подвес), совпадает по величине с силой, действующей со стороны опоры на данное тело. Сила, с которой опора давит на находящееся на ней тело, называется силой реакции опоры. Обозначив силу реакции опоры N, мы можем записать:

N = −P

Полученная формула является более общей, чем P=mg, так как она справедлива и в том случае, когда тело вместе с опорой совершает ускоренное движение.

Силой трения называют силу, которая возникает при движении одного тела по поверхности другого. Трение по-другому называют фрикционным воздействием. Сила трения всегда направлена противоположно направлению движения. Сила трения прямо пропорциональна силе нормального давления на трущиеся поверхности и зависит от свойств этих поверхностей.

 

Сухое трение возникает между поверхностями твердых тел в отсутствие смазки.

Сухое трение, в свою очередь, подразделяется на трение скольжения и трение качения.

Установлено, что максимальная сила трения покоя не зависит от площади соприкосновения тел и приблизительно пропорциональна модулю силы нормального давления N:

μ₀ – коэффициент трения покоя, зависящий от природы и состояния трущихся поверхностей.

 

Когда модуль внешней силы, а, следовательно, и модуль силы трения покоя превысит значение F ₀, тело начнет скользить по опоре – трение покоя F _тр.пок сменится трением скольжения F _ск:

Fтр = μ N,

где μ – коэффициент трения скольжения.

Трение качения возникает между шарообразным телом и поверхностью, по которой оно катится. Сила трения качения подчиняется тем же законам, что и сила трения скольжения, но коэффициент трения μ; здесь значительно меньше.

 

Коэффициент трения - количественная характеристика силы, необходимой для скольжения или движения одного материала по поверхности другого. Если обозначить вес предмета как N, а коэффициент трения - m, то сила (F), необходимая для движения предмета по ровной поверхности без ускорения, равна F = mN. Коэффициент трения покоя определяет силу, необходимую для начала движения; коэффициент кинетического трения (трения движения) определяет (меньшую) силу, необходимую для поддержания движения.

 

Вопрос 10

Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость. Обозначим импульс буквой p⃗. Тогда p⃗ = mυ⃗. Из этой формулы видно, что импульс — векторная величина.

Импульс системы P∑→ материальных точек массами m1, m2, m3, …, имеющих скорости V1→, V2→, V3→, …, определяется соотношением: P∑→=m1V1→+m2V2→+m3V3→+…,то есть P∑→=P1→+P2→+P3→+…, где Pk→ — импульс k-й материальной точки. Т.е. это сумма импульсов материальных точек этой системы.

Система называется замкнутой, если на неё не действуют внешние силы или сумма внешних сил = 0.

Вопрос 11

На рисунках представлена графическая интерпретация работы при разных условия. По порядку: 1) сила линейна зависима, поэтому «площадь» работы имеет вид прямоугольника; 2) сила изменяется по линейному закону, поэтому «площадь» работы выглядит треугольник; 3) колебание силы представлено в виде ф-и, поэтому, чтобы вычислить работу, нужно узнать площадь криволинейной трапеции, что есть интеграл по S;

Работа – это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую. В механике принято говорить, что работа совершается силой.

Работа силы на конечном перемещении равна сумме ее работ на элементарных участках.

Работа силы на конечном перемещении М₁М₀ равняется интегралу вдоль этого перемещения от элементарной работы.

Работа силы на перемещении М₁М₂ изображается площадью фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой и ординатами, соответствующими точкам М₁ и М₀.

Единица измерения работы силы и кинетической энергии в системе СИ 1 (Дж).

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности. Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

Если F = const, то

А= F × Δr

Работой постоянной силы

называется физическая величина, равная произведению модулей

силы и перемещения, умноженному на косинус угла :

Выражение показывает, что работа является скалярной величиной и может иметь положительное или отрицательное значение в зависимости от знака косинуса угла .

Работа, совершаемая силой , положительна, если угол между вектором силы и вектором перемещения меньше 90°.

Работа силы упругости — работа, совершаемая силой упругости при изменении деформации пружины от некоторого начального значения x1 до конечного значения x2

Вывод формулы работы силы упругости (через интеграл)

Коэффициент жесткости пружины k называет­ся жесткостью тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено, а также от его геоме­трических размеров и формы. Жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м). Сила упругости зависит только от изменения расстояний между взаимодействующими частями данного упругого тела. Р абота силы упругости не зависит от формы траек­тории и при перемещении по замкнутой траектории равна нулю. Поэтому силы упругости является потенциальными силами.

 

Найдем работу, совершаемую силами поля тяготения, созданного точечной массой М, при перемещении материальной точки с массой m. Силы тяготения являются консервативными силами, поэтому их работа не зависит от траектории, а лишь от начального и конечного положения тела. Работа сил тяготения по перемещению тела на малый вектор dr вдоль линии, соединяющей два тела, равна:

Последнее равенство имеет место быть, т.к. работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.

Вопрос 12

Мощность — физическая величина, равная в общем случае скорости изменения, преобразования, передачи или потребления энергии системы. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. P=N=W ß буквы взаимозаменяемы.

– средняя мощность. - мгновенная мощность

 

P= = = (F; ) = (F;V)

{P} = Вт [ватты] скалярная физическая величина.

Кинетическая энергия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальной точки и зависящая только от массы и модуля скорости материальных точек, образующих рассматриваемую физическую систему[1], энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения[2].

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением[3].

Простым языком, кинетическая энергия — это энергия, которую тело имеет только при движении. Когда тело не движется, кинетическая энергия равна нулю.

 

dA = F dr =m * * dr, dr/dt=V à после преобразований получаем mV*dV, вносим V под знак дифференциалаà

dA=d() Тогда Ek = ; dA=dFk

 

Вопрос 13

Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке (поле силы тяжести Земли). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным. Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.

Стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от траектории, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным, а сами силы – консервативными (F тяж, F упр).

Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называют неконсервативными (F трения).

Свойства консервативных сил:

1) работа, производимая консервативной силой, определяется только начальным и конечным положением точки её приложения и не зависит от выбора траектории, по которой перемещается тело.

2) работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

3) — ротор консервативных сил равен 0;

 

 

4) — консервативная сила является градиентом некой скалярной функции, называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком. Соотношение:

 

Таким образом, потенциальная сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

 

Вопрос 14

Билет 15

Полная механическая энергия частицы – энергия механического движения и взаимодействия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий: E = Ek + Ep.

Док-во:

Приращение Ек или Т равно элементарно работе результирующей F_рез всех сил. В стационарном поле это консервативная сила этого поля F_конс и иные силы F_стор. à F_рез = F_конс + F_стор. Робота этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:

Т.к. работа равна убыли потенциальной энергии А_конс = - ΔU, то подставив это в выражение, после преобразований получим:

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины T+U, что и есть полная механическая энергия.

Закон сохранения.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно:

Билет 16

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения рассматриваемой системы. Обозначается как Ек или Т.

Теорема о кинетической энергии системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Док-во теоремы:

Рассмотрим систему материальных точек с массами m_i, скоростями v_i и кинетическими энергиями Ti=1/2(m_iv_i²). Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени dt будет выполняться: