Занятие № 6. Вероятность сложных событий.

Задания:

1. Студент озабочен экзаменами по иностранному языку и теории вероятностей. Вероятность того, что он сдаст язык, равна 0,4, теорию вероятностей – 0,6. Какова вероятность того, что он сдаст оба экзамена?

2. В общежитии проживает 10% студентов университета. 75% студентов, проживающих в общежитии, увлекается спортом, среди них 46% юношей. Какова вероятность встретить в студенческом городке: 1) студента, проживающего в общежитии; 2) студента, увлекающегося спортом и живущего в общежитии; 3) юношу, увлекающегося спортом и живущего в общежитии?

3. В условиях эксперимента, описанного в задаче 10 занятия № 5, вычислить вероятности следующих событий: А ={вышедший знает или английский или французский язык}, В ={вышедший не знает ни одного языка}.

4. Из урны содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.

5. На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй – 0,008, в третий – 0,025. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

6. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).

7. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов, соответственно, равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

8. В продукции завода брак составляет 5% от общего ко­личества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 20 деталей. Ка­кова вероятность того, что среди них имеется хотя бы одна бракованная?

9. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что в течение смены его работа потребует вмешательства рабочего, равна 0,3; для второго – 0,5; для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены потребуют вмешательства рабочего: а) один станок; б) два станка; в) все три станка; г) по крайней мере один станок.

10. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

11. Наудачу подбрасывают две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А – сумма выпавших очков четна, В – произведение очков четно, С – на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно, D– ни на одной из костей не выпало шесть очков.

12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый, второй вопросы равны по 0,9, на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса.

13. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком 0,76, вторым – 0,48. Первый стрелок сделал два выстрела, второй – три. Определить вероятность того, что цель не поражена.

14. В одной урне находится 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, во второй – 10, 8 и 6 соответственно. Из каждой урны извлекается по шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

15 Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее, чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

16. Студент озабочен экзаменами по иностранному языку и теории вероятностей. Вероятность того, что он сдаст хоть один из двух предметов, равна 0,6; вероятность сдать оба предмета равна 0,1. Какова вероятность сдать экзамен по теории вероятностей?

17. Вероятность хотя бы одного попадания при 3 выстрелах равна 0,973. Какова вероятность попадания при одном выстреле?

18. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 1 черный. Из первой урны извлекли шар и переложили во вторую, а затем из второй урны извлекли шар и переложили в первую. Какова вероятность, что состав урн останется тем же? Как изменится эта вероятность, если извлекать и перекладывать два шара?

19. Самолет состоит из трех различных по уязвимости частей: 1) кабины летчика и двигателей, 2) топливных баков, 3) планера. Для поражения самолета достаточно одного попадания в первую часть, двух попаданий во вторую часть или трех попаданий в третью. При попадании в самолет одного снаряда он с вероятностью р_к и независимо от других попадает в к-ю часть (к=1,2,3). Самолет обстрелян. События: А – в самолет попало 3 снаряда, В – самолет поражен. Найти условную вероятность Р(В/А).